Sottospazio generato con parametro variabile

[Fly]

Consideriamo S sottospazio di R_4 , dove S è generato da questi 3 vettori :

u=(1, t, 1, 0 ) v=(1,1,t,-1) w=(-2,-2,-2,1) per ogni t di R .

L'esercizio richiede di determinare la dimensione di S al variare di t in R .


Ora , io ho provato facendo la riduzione di gauss-jordan alla matrice composta dai 3 vettori

1 t 1 0
1 1 t -1
-2 -2 -2 1

che diventa alla fine

1 t 1 0
0 (1-t) (t-1) -1
0 0 (2t-2) -1

solo che adesso non so piu' come andare avanti e trovare la dimensione di S.
Mi aiutate ? Voglio davvero capire perchè quando ho un parametro vado in panico...

[rocco.g]

forse sbaglio...
ma in questo caso io mi scriverei la matrice con i tre vettori che mi sono stati dati e mi calcolerei il determinante, di sicuro credo uscirà in funzione del parametro t, in questo caso lo porrei uguale a zero ed andrei a vedere i valori per cui t soddisfa l'equazione.
Una volta trovati i valori riscrivo la matrice mettendo al posto di t il valore trovato e calcolo il determinante o il rango della matrice, a seconda dei casi la dimensione cambierà...
Cmq dato che la devi considerare in R^4 ed hai tre vettori credo che il sottospazio non avrà di sicuro dimensione 4 per il fatto che la matrice iniziale non ha rango quattro.

Cmq credo di aver detto delle cavolate, forse... quindi forse è meglio che aspetti qualcuno pià competente che ti aiuti

[Fly]

Non so se è il modo giusto , hai visto come ho provato io ? pensi che sia totalmente sbagliato ? Vorrei delle certezze.

[rocco.g]

non so se ha molto senso quello che hai fatto tu, credo che tu volessi diagonalizzare la matrice per calcolarti il determinante, ma non puoi perchè la matrice non è quadrata! e non puoi fare la diagonale di una matrica non quadrata...

Secondo me, ed io farei così e secondo me è giusto, farei questi ragionamenti:

1. Lo spazio è considerato in R^4 e tu hai tre vettori, quindi sicuramente la dimensione del tuo sottospazio è minore di 4, perchè il rango di quella matrice è inferiore a quattro.

2. Mi calcolerei il rango, cioè il max numero di colonne indipendenti che si possono estrarre da quella matrice, e da quello mi ricaverei la dimensione. Il rango uscirà in funzione di t, quindi ti basta porre quello che trovi uguale a zero vedere per quale valore di t si annulla. Procedi così per tutti i casi...

Io farei così! ma dato che studio ingegneria e non matematica, è probabile che mi sia sfuggita qualcosa

ma ripeto, io farei così!

[Fly]

Allora, ho provato come mi hai proposto.
la matrice in questione ha due minori di ordine 3 , quindi calcolo il determinante di entrambi e vedo quando esso si annulla , se per lo stesso valore si annullano entrambi allora avrò capito che la matrice NON HA rango 3 , giusto ?

Facendo i calcoli viene questo risultato , il primo minore ha determinante : -2t^2 +4t -2 , il quale si annulla per t=1 .
il secondo minore ha determinante : t^2 + 1 , che non si annulla mai ....

COnclusione " La matrice ha rango 3 qualunque sia t " ?

[rocco.g]

emh...
per t diverso da 1 la matrice ha rango 3, però se t = 1 allora il rango scende a due.

Credo...!