Autovalori non regolari

[alexmazza]

Ciao a tutti...

Diciamo che io conosca gli autovalori e gli autovettori di una matrice e che uno degli autovalori abbia molteplicità algebrica > 1 ma non sia regolare. Posso risalire alla matrice originale conoscendone appunto solo autovalori e autovettori? E' possibile che in questo caso il determinante della matrice sia diverso da 0?
Il tutto sul campo reale.

[david_e]

Scusa che cosa vuol dire che "non sia regolare"?

Nel caso in cui tu abbia tutti agli autovalori ed autovettori che ti servono per costruire la matrice degli autovettori, la sua inversa e la matrice diagonale con gli autovalori, ovviamente A e' uguale al prodotto di queste tre:

A = X^-1 D X se D e' la matrice diagonale.

Se per non regolare, pero', intendi dire che la moltemplicita' geometrica e' inferiore a quella algebrica non e' possibile invertire la matrice X e quindi non e' possibile usare questa strada per ricostruire A. Sinceramente non so' se a questo punto sia possibile ricavare A...

[alexmazza]

Si esatto il mio dubbio è sugli autovalori con molteplicità geometrica inferiore a quella algebrica. In questo caso secondo me non si riesce a risalire alla matrice originaria nemmeno risolvendo i vari sistemi Ax = lambda x soddisfatti dai vari autovalori e dagli autovettori corrispondenti.
Fra l'altro pensavo, ma non so se il ragionamento sia giusto, che pensando la matrice come la matrice rappresentativa di un endomorfismo di dimensione n, se uno degli autovalori dati è non regolare (molteplicità algebrica maggiore di quella geometrica) la dimensione dell'autospazione relativo a questo autovalore (che è sottospazione dell'endomorfismo) è minore di n e quindi non ho "abbastanza" vettori linearmente indipendenti per poter ricavare la matrice originaria.