Proiezione ortogonale su sottospazio

Messaggioda valeriaingegneria » 06/02/2010, 19:03

Ho un dubbio su una tipologia di esercizio e vorrei sapere se il mio ragionamento è corretto.

L'esercizio, dato un sottospazio, chiede di scrivere la proiezione ortogonale sul sottospazio dato e sul sottospazio ortogonale ad esso.

Per scrivere la proiezione ortogonale del sottospazio io troverei la base ortonormale del sottopazio e troverei l'endomorfismo (proiezione) secondo la metotodolgia normale. E fin qui ci dovrei essere.
Invece per quanto riguarda la proiezione sul sottospazio ortogonale procedo come sopra? nel senso: trovo innanzitutto il sottospazio ortogonale, una sua base ortonormale ed infine la proiezione ortogonale su di esso?

spero di essermi spiegata
grazie dell'aiuto
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Messaggioda Sergio » 06/02/2010, 19:15

Premessa: quanto sto per dire è forse estraneo al tuo corso, quindi regolati.
Se hai gli elementi di una base di un sottospazio $W$ di uno spazio $V sub R^n$, mettendoli in colonna hai una matrice $A$.
Da questa puoi costruire una matrice $H=A(A^tA)^(-1)A^t$ che è una matrice di proiezione ortogonale: se $x in V$, $Hv$ è la sua proiezione ortogonale su $W$.
La matrice di proiezione ortogonale su $W^(\bot)$ non è altro che $(I-H)$.
Però ripeto: non so se hai visto queste cose nel tuo corso. Se non le hai viste, farei come hai detto.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Messaggioda valeriaingegneria » 06/02/2010, 19:45

Sergio ha scritto:Premessa: quanto sto per dire è forse estraneo al tuo corso, quindi regolati.
Se hai gli elementi di una base di un sottospazio $W$ di uno spazio $V sub R^n$, mettendoli in colonna hai una matrice $A$.
Da questa puoi costruire una matrice $H=A(A^tA)^(-1)A^t$ che è una matrice di proiezione ortogonale: se $x in V$, $Hv$ è la sua proiezione ortogonale su $W$.
La matrice di proiezione ortogonale su $W^(\bot)$ non è altro che $(I-H)$.
Però ripeto: non so se hai visto queste cose nel tuo corso. Se non le hai viste, farei come hai detto.


un paio di dubbi sulla tua risposta: con I indichi la matrice identica? con l'apice"t" la trasposizione?"
in effetti nell'eserciziario che uso (abate-de fabritiis) lo risolve in un modo che non riesco a capire e non è quello che io pensavo ed ho scritto, è per questo che ho chiesto in questo forum la conferma del mio pensiero. quindi approfondirò per capire se quello che mi hai scritto è estraneo oppure no al mio corso.
grazie ancora dell'aiuto
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Messaggioda Sergio » 06/02/2010, 20:19

valeriaingegneria ha scritto:con I indichi la matrice identica? con l'apice"t" la trasposizione?"

Sì.

valeriaingegneria ha scritto:in effetti nell'eserciziario che uso (abate-de fabritiis) lo risolve in un modo che non riesco a capire e non è quello che io pensavo ed ho scritto

Allora forse è meglio che illustri il metodo di abate-de fabritiis (che dubito usino matrici come la $H$ di cui sopra).
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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