Proiezione ortogonale su sottospazio

[valeriaingegneria]

Ho un dubbio su una tipologia di esercizio e vorrei sapere se il mio ragionamento è corretto.

L'esercizio, dato un sottospazio, chiede di scrivere la proiezione ortogonale sul sottospazio dato e sul sottospazio ortogonale ad esso.

Per scrivere la proiezione ortogonale del sottospazio io troverei la base ortonormale del sottopazio e troverei l'endomorfismo (proiezione) secondo la metotodolgia normale. E fin qui ci dovrei essere.
Invece per quanto riguarda la proiezione sul sottospazio ortogonale procedo come sopra? nel senso: trovo innanzitutto il sottospazio ortogonale, una sua base ortonormale ed infine la proiezione ortogonale su di esso?

spero di essermi spiegata
grazie dell'aiuto

[valeriaingegneria]

Premessa: quanto sto per dire è forse estraneo al tuo corso, quindi regolati.
Se hai gli elementi di una base di un sottospazio $W$ di uno spazio $V sub R^n$, mettendoli in colonna hai una matrice $A$.
Da questa puoi costruire una matrice $H=A(A^tA)^(-1)A^t$ che è una matrice di proiezione ortogonale: se $x in V$, $Hv$ è la sua proiezione ortogonale su $W$.
La matrice di proiezione ortogonale su $W^(\bot)$ non è altro che $(I-H)$.
Però ripeto: non so se hai visto queste cose nel tuo corso. Se non le hai viste, farei come hai detto.

un paio di dubbi sulla tua risposta: con I indichi la matrice identica? con l'apice"t" la trasposizione?"
in effetti nell'eserciziario che uso (abate-de fabritiis) lo risolve in un modo che non riesco a capire e non è quello che io pensavo ed ho scritto, è per questo che ho chiesto in questo forum la conferma del mio pensiero. quindi approfondirò per capire se quello che mi hai scritto è estraneo oppure no al mio corso.
grazie ancora dell'aiuto