matrici simmetriche

[leev]

Ciao,

sapreste provarmi in modo abbastanza semplice che una matrice simmetrica possiede sempre solamente autovalori reali??

[Nel corso di algebra lineare abbiamo dimostrato qualcosa di simile...ma erano dimostrazioni troppo complesse per essere richieste in un esame orale; xo pare questa domanda sia stata fatta in quel contesto...]

grazie

L.L

[leev]

anche non troppo semplice se preferite ;P

L.L

[Woody]

Vedi nel sito:

http://www.math.unifi.it/~ottavian/geo1/geom1.html#auto

Saluti,

Woody

[karl]

[leev]

Grazie ad entrambi!

Ma non c'è magari la possibilità di utilizzare il fatto che una matrice simmetrica è una matrice creata da un'applicazione lineare autoaggiunta ? (cioè tale che (f(x),y) = (x,f(y)) per tutti gli x e y)

L.L

[leev]

ah ok, dovrei aver trovato la soluz utilizzando l'autoaggiunta..

Se si considera l'applicazione autoaggiunta f che genera la matrice A simmetrica, si a considerando tutto come appartenente a C:
k=a+i*b autovalore di f
z=x+i*y autovettore di f (quindi diverso da 0)

allora
f(z) = kz

analizzando parte reale e complessa si ottiene
f(x) = ax-by
f(y) = bx+ay

e rimpiazzando questi in (f(x),y)=(x,f(y)) si arriva a dire che b(||x||^2+||y||^2)=0.
Dunque b=0 e k=a € R

Ciao ciao!

L.L