Coniche

[Nidhogg]

Volevo porre una domanda a chinque abbia una risposta esauriente da darmi. Ieri, risolvendo degli integrali ho utilizzato le funzioni iperboliche. Si chiamano funzioni iperboliche perchè vale la relazione: ch^2(x)-sh^2(x)=1 e quindi chx e shx si possono assumere come coordinate di un punto variabile sull'iperbole equilatera x^2-y^2=1, analogamente alle funzioni circolari senx e cosx, che si possono assumere come coordinate cartesiane di un punto variabile sulla circonferenza x^2+y^2=1. Quindi la mia domanda è esistono funzioni ellittiche o funzioni paraboliche simili alle funzioni sopra descritte? (Se esistono non lo sapevo! - Se non esistono avrò preso siccuramente una cantonata)

Grazie.

et

[david_e]

Forse non ho capito la domanda: comunque non vedo perche' non possano esistere: basta prendere una qualunque curva e definirle! Ad esempio prendiamo l'astroide, cosa mi impedisce di definire il "coseno-astroidiano" o il "seno-astroidiano" che rappresentino le coordinate sull'astroide? Magari saranno funzioni complicate o non esprimibili come combinazioni di funzioni elementari o, addirittura, nemmeno sviluppabili in serie di potenze (e quindi impossibili da calcolare anche numericamente) (dubito nel caso dell'astroide), ma esistono nel momento stesso in cui le definisco!

[lupo grigio]

La ‘intuizione’ [se posso chiamarla così…] avuta da leonardo corrisponde a verità. Un capitolo interessante quanto relativamente poco noto della matematica è quello delle ‘funzioni ellittiche’, definite nel modo seguente…

Consideriamo la funzione…

u= f(k,t) = Int [0<v<t] dv/sqrt (1-k^2*sin^2 v) (1)

… in cui t = am(u) è detta <i>amplitudine</i> di u e k [con 0<k<1] è detta <i>modulo</i> di u. Su questa base è possibile definire le seguenti tre funzioni…

sn(u)=sin[am(u)]

cn(u)=cos[am(u)]

dn(u)=sqrt [1-k^2*sn(u)^2] (2)

Queste tre funzioni sono chiamate ‘funzioni ellittiche’ a causa [presumo…] della evidente relazione…

dn(u)^2+k^2*sn(u)^2= 1 (3)

… la quale sul piano [x=dn(u),y=sn(u)] altro non è che una ellisse…

cordiali saluti

lupo grigio

[Nidhogg]

Ringrazio entrambi per la risposta. Ringrazio soprattutto lupo grigio per avermi illuminato su questo capitolo (davvero poco noto - non lo conoscevo) della matematica. Andrò sicuramente a leggermi qualcosa a riguardo, anzi se avete del materiale, inviate pure via email.

Grazie a tutti.

et

[lupo grigio]

Una trattazione del tutto adeguata delle ‘funzioni ellittiche’ si può trovare in…

http://mathworld.wolfram.com/JacobiElli ... tions.html

Tra le cose degne di nota è che le le funzioni cn(x), dn(x) e sn(x) sono [nell’ordine…] le soluzioni delle seguenti equazioni differenziali…

y’’+(1+k^2)*y-2*k^2*y^3=0 (1)

y’’+(1-2*k^2)*y-2*k^2*y^3=0 (2)

y’’+(1-2*k^2)*y+2*k^2*y^3=0 (3)

cordiali saluti

lupo grigio