esercizi Algebra Lineare

[Viger]

ciao a tutti, mi servirebbe qualche chiarimento riguardo questi 2 esercizi:

1)Si dica sè il seguente sottinsieme di R3 e' linearmente indipendente, se e' una base di R3 e se genera R3:
B={ b1=(1; 1; 1; 1) b2=(1; 2; 4; 8 ) b3=(1; -2; -8; -20) }

2)Si risolva il seguente Sistema Lineare Omogeneo, si determini una base per il sottospazio V di R4 formato dalle soluzioni del
sistema, e si determinino le coordinate del vettore v=(2; -1; -2; 1) di V rispetto a tale base:

x1 +3x2 -3x3 -5x4 = 0
-2x1 -4x2 +2x3 +4x4 = 0
x1 +x2 +x3 +x4 = 0

[sigma]

Io farei cosi' (essendo pero' anch'io un neofita dell'algebra lineare prego i membri esperti di correggermi):

Partendo da 1)

Direi che siamo in R^4 e non in R^3. Fatta questa premessa risolvi il sistema lineare che si ottiene ponendo le combinazioni lineari dei vari elementi = 0 in modo da vedere per quali coefficienti si ottiene il vettore nullo (0,0,0,0). Se tali coefficienti sono pari a zero per definizione il sistema e' indipendente. In questo caso mi pare che b3 = 4b2 - 3b3, quindi i vettori NON sono l.i.. Quindi NON sono una base di R^4 e NON generano R^4

[Fury]

Per vedere la dimensione dello spazio generato da quei vettori basta calcolare il rango della matrice rettangolare avente come righe i vettori stessi! in questo modo si scopre che il rango è uguale a 2, quindi si può generare un sottospazio di R4 di dimensione 2: da qui deduci che ci sono due equazioni che vincolano le componenti delle ennuple corrispondenti dei vettori!

[Viger]

grazie della risposta, non mi è chiara solo una cosa:

perchè non genera R4?

per controllare se la genera io ho calcolato il sistema uguagliandolo a 4 incognite (non sò se incognite è il termine giusto da usare);

calcolando la matrice le ultime 2 righe mi vengono zero uguale alla combinazione lineare delle 4 incognite;
sò che se sono diverse da zero non generano, ma se entrambe sono uguali a zera generano R4 o no?

spero di essermi spiegato...

[Fury]

io mi riferisco al primo! solo il fatto che hai 3 vettori ti dice che non si potra mai ganerare R4..... al massimo R3, ma come ti ho spiegato (è una definizione!)

rg(A)=dim Span(b1,b2,b3)

dove rg(A) è il rango della matrice che ha come righe i tre vettori b1 b2 b3. Questo significa che due colonne si possono scrivere come combinazione lineare delle altre, insomma, hai due vincoli imposti, in quanto la dimensione di un sottospazio è uguale alla dimensione massima meno il numero di equazioni(vincoli!).

[sigma]

Err... Scusate ma ho perso il filo. Ho detto delle cazzate?

[sigma]

Scusate se insisto ma prima che questo thread vada nel dimenticatoio vorrei che qualcuno mi confermasse o meno se cio' che ho scritto e' corretto (ho iniziato a studiare la materia da poco e voglio essere sicuro di non partire con delle idee di base totalmente sballate).

Inoltre parlando di vettori con quattro elementi (a,b,c,d) come nell'esempio di viger non ha senso parlare di sottoinsieme di R^3 o se genera R^3 visto che siamo in R^4, giusto?

[Camillo]

Es. n. 2
La matrice dei coefficienti dell'equazione omogenea ha rango 2 ; si calcola facilmente la soluzione del sistema :

$ x_1=-3x_3-4x_4 $ , $x_2= 2x_3+3x_4$

Si hanno due variabili libere , appunto $x_3,x_4$ e quindi dim V = 2.

Il generico vettore di V è così : $(-3a-4b,2a+3b,a,b)$.

Una base la trovo assegnando prima : $ a=1, b=0$ e poi :$ a=0,b=1$ e ottengo :

$b_1 = (-3,2,1,0) ; b_2= (-4,3,0,1) $.

Adesso si chiede di rappresentare il vettore $ v = ( 2,-1,-2,1) $ nella nuova base $b_1 , b_2 $.

Sarà allora : $ v = (2,-1,-2,1) = k*b_1 +h* b_2= k*(-3,2,1,0) +h*(-4,3,0,1) $ con k, h da determinare.
E' immediato ottenere le equazioni risolventi :

$ 2= -3k -4h $
$ -1 = 2k +3h$
$ -2 = k $
$1 =h $
e quindi :

$ v= -2 b_1 + b_2 $

Camillo