applicazioni lineari 2

[Pivot]

Come si risolve quest'altro esercizio?

In R^3 si consideri l'endomorfismo f dato da:

f(e_1) = 2e_1 - e_2

f(e_2) = e_1 + e_3

f(e_3) = - e_1 + e_2 - e_3

Trovare una base del Ker f.

grazie

[karl]

Si ha :
$f(x,y,z)=f(xe_1+ye_2+ze_3)=xf(e_1)+yf(e_2)+zf(e_3)$
Ovvero:
$f(x,y,z)=x(2,-1,0)+y(1,0,1)+z(-1,1,-1)$
Pertanto la forma analitica dell'endomorfismo e':
$f(x,y,z)=(2x+y-z,-x+z,y-z)$
Per avere il kernell occorre risolvere il sistema lineare omogeneo:
2x+y-z=0
-x+z=0
y-z=0
Ora la matrice dei coefficienti di esso ha rango 3 e dunque il sistema ha
la sola soluzione (0,0,0) e questa e' anche la base del Ker.
Poiche' il Ker e' ridotto al solo vettore nullo l'endomorfismo in questione
e' in realta' un isomorfismo .

[Camillo]

L'esercizio dà come dati i trasformati dei vettori della base ortonormale $(e_1,e_2,e_3)$ di $R^3$.
Per trovare Ker f è opportuno conoscere la rappresentazione cartesiana dell'endomorfismo.
Per prima cosa calcolo i trasformati di $e_1$, cioè calcolo $f(e_1)=f(1,0,0) = 2e_1-e_2=(2,-1,0)$.
Calcolo il trasformato di $e_2$, cioè calcolo $f(e_2) = f(0,1,0) =e_1 +e_3 = (1,0,1)$
e infine il trasformato di $e_3$, cioè calcolo $ f(e_3) = f(0,0,1) = -e_1+e_2-e_3= (-1,1,-1).
Sfrutto adesso la linearità della trasformazione e cerco la trasformata del generico vettore $(x,y,z) $ di $R^3$ :
$f(x,y,z) = f[x*e_1+y*e_2+z*e_3] = x(2,-1,0)+y(1,0,1)+z(-1,1,-1) =(2x+y-z, -x+z,y-z)$ che finalmente è la forma cartesiana della trasformazione, in questo caso endomorfismo.

Per trovare Ker f basta risolvere il sistema lineare omogeneo :

$2x +y -z = 0$
$-x +z = 0$
$ y- z = 0$
che ha l'unica soluzione : $ x=y=z=0$.

Quindi Ker f è formato dal solo vettore nullo .

Camillo

[Pivot]

ok grazie. Anche io avevo pensato una cosa del genere ma non sono riuscito a trovare i vettori partenza.