Fascio di circonferenze

[sigma]

Quello che ho capito: un fascio di circonferenze e' dato dalla combinazione lineare tra due equazioni generiche di circonferenze (e rappresenta una circonferenza).

Quello che non ho capito: questo esempio: data la retta r: 2x-y=0 e 0(0,0) il testo mi dice che le circonferenze tangenti ad r in O costiuiscono il fascio di equazione x^2 + y^2 + h(2x-y) = 0

Mi immagino che h=a/b (siano a, b due coefficienti reali), ma come si e' arrivati a quella equazione?

[Kroldar]

Scriviamo l'equazione di una generica circonferenza: $ x^2+y^2+ax+by+c=0 $ e modifichiamola a seconda delle informazioni che abbiamo. Innanzitutto il termine noto "c" scompare in quanto vogliamo l'equazione del fascio di circonferenze passanti per l'origine degli assi, dunque $ x^2+y^2+ax+by=0 $ . Ora mettiamo a sistema quest'equazione con quella della retta $ y=2x $ . Ne esce l'equazione $ 5x^2+(a+2b)x=0 $ che essendo spuria ha discriminante pari al coefficiente del termine lineare, ovvero delta=a+2b. Essendo queste circonferenze del fascio tangenti alla retta imponiamo che il delta sia nullo, ciò segue $ a=-2b $ e sostituiamo nell'equazione di partenza questo risultato. Abbiamo la seguente equazione $ x^2+y^2-2bx+by=0 $ . Ponendo h=-b otteniamo in definitiva $ x^2+y^2+h(2x-y)=0 $

[Camillo]

Oppure si può fare questo ragionamento, che una volta assimilato, è il metodo più semplice e diretto :
considero il fascio formato da due crf degeneri sicuramente tangenti in (0,0) alla retta : $2x-y = 0$
*scelgo la retta stessa che è una crf degenere di raggio infinito come prima crf
* scelgo la particolarissima crf di centro (0,0) e raggio 0 che ha equazione : $ x^2 +y^2 = 0 $
Adesso eseguo una combinazione lineare delle 2 crf.
Pertanto il fascio rispondente ai requisiti richiesti ha equazione :
$x^2 +y^2 +K(2x -y) = 0 $.

Camillo

[sigma]

Grazie mille.

Una ulteriore domanda: quando si esegue una combinazione lineare e' corretto utilizzare un solo coefficiente h o e' meglio - da un punto di vista formale - utilizzare a e b? Oppure non fa alcuna differenza da un punto di vista pratico e formale?

[SaturnV]

La differenza dal punto di vista pratico esiste, ed è molto importante.
Dette C e C' le equazioni di due circonferenze, facciamo combinazione lineare con due coefficienti a e b, ottenendo:
aC+bC'=0
Il fascio siffatto contiene anche le due circonferenze C e C'. Per ottenere la C basta porre b=0, per ottenere la C' basta porre a=0.
Ora consideriamo questo fascio con un solo coefficiente:
C+hC'=0
Il fascio contiene la circonferenza C (per h=0), ma NON contiene la C'. Non esistono valori di h in modo tale da ottenere la C' (h dovrebbe assumere un valore "infinito").
Quindi tale fascio non contiene una delle curve generatrici.
Di solito conviene usare un solo coefficiente solo quando sei sicura di poter escludere una soluzione: tipo, dal fascio devi estrapolare una circonferenza propria, quindi puoi tranquillamente non annoverare fra le possibili soluzioni una circonferenza degenere (tipo l'asse radicale).
Mi sono spiegato?

Fabio

[Camillo]

Ha già risposto brillantemente Saturn V ; ricorda che lo stesso discorso è applicabile anche ai fasci di rette : se usi un solo parametro per fare la combinazione lineare , una delle rette generatrici non è deducibile dall'espressione del fascio per nessun valore del parametro ; a parte far tendere all'infinito il parametro stesso ; mi spiego : se hai la combinazione lineare delle rette r1 , r2 così fatta :
h*r1 +r2 = 0 , dividi per h e ottieni :
r1 +r2/h = 0 , adesso fai tendere all'infinito h e otterrai r1 = 0.

Camillo

[sigma]

Per chiarirmi le idee sul significato di fascio di circonferenze (purtroppo ho ancora qualche orrendo dubbio):

Date due circoferenze A e B:

1) se A e B sono concentriche una qualunque loro combinazione lineare rappresentera' una circonferenza concentrica
2) se A e B non sono concentriche una loro qualunque combinazione lineare rappresenta una circonferenza che passa per i punti comuni di A e B

Domanda: ma se A e B non sono concetriche e non hanno punti in comune , la loro combinazione lineare cosa rappresenta?

(probabilmente ho frainteso qualcosa...)

[Camillo]

1) OK
2) OK
3) se A e B non sono concentriche e non hanno punti in comune allora le circonferenze del fascio, a due a due , sono senza punti comuni e i loro centri stanno su una retta perpendicolare all'asse radicale.
4) se A e B sono tra loro tangenti in un punto T , allora tutte le circonferenze del fascio sono tra loro tangenti in T e l'asse radicale di equazione : A - B = 0, è la retta passante per T e ivi tangente ad ogni circonferenza del fascio.


Camillo

[sigma]

Grazie Camillo, porta pazienza ma rimane l'orrendo dubbio

se A e B non sono concentriche e non hanno punti in comune allora le circonferenze del fascio, a due a due , sono senza punti comuni e i loro centri stanno su una retta perpendicolare all'asse radicale

E' quel " a due a due" che mi confonde. Vediamo un attimo: abbiamo l'equazione di un generico fascio di circonferenze, inserisco le CF1 e CF2 date (che so che non sono concentriche e non hanno punti in comune) e poi pongo a = 1 e b = 2 (esempio). Il risultato dell'equazione rappresentera' UNA circoferenza sola (con il centro su una retta perp all'asse radicale ma senza altre caratteristiche particolari), giusto?