Salve a tutti. Volevo un parere su questo esercizio.
Sia f : R^3 --> R^2 / f(x,y,z)-->(x + y, y + z);
Calcolare:
1) base KerF e dim Kerf
2) base ImF e dim ImF
3) vedere se f è iniettiva e suriettiva.
Ora io ho fatto così:
2)
e_1 = (1,0,0) --> f(1,0,0) = (1,0);
e_2 = (0,1,0) --> f(0,1,0) = (1,1);
e_3 = (0,0,1) --> f(0,0,1) = (0,1);
poi ho formato la matrice A:
1 1 0
0 1 1
da cui si vede subito che:
rango A = dim ImF = 2
una base è data della colenne che coinvolgono il minore, cioè:
base ImF = {(1,0) (1,1)}
Poi
1)
Ho applicato la definizione di nucleo, cioè
KerF = {(x,y,z) di R^3 / f(x,y,z) = (x + y, y + z) = (0,0)};
quindi:
x + y = 0
y + z = 0
da cui ho una variabile libera y. (cioè dim KerF = 1)
(Si poteva fare anche con il teorema della dimansione cioè: dim R^3 - dim Imf = dim KerF )
Una base sarà formata da tutti e soli i vettori del tipo:
base KerF = { -y, y, -y};
quindi scegliendo y = 1 trovo:
base KerF = { -1, 1, -1};
dopo
3)
Affinche f sia iniettica, deve essere necessariamente KerF ={0};
poichè KerF = 1 essa non è iniettiva.
Invece f è suriettiva poichè la dimensione dell'immagine di f coincide con quella dello spazio di arrivo R^2
dim ImF = R^2 = 2 cioè f è suriettiva.
Secondo voi è giusto? (In particolare il secondo e il terzo punto.)
I) E sempre vero che quando dim ImF = dim spazio di arrivo f è suriettiva?
II) In precedenza nel punto 2 avevo considerato la matrice anzicchè per colonne per righe cioe,
10
11
01
facendo così....è vero che la base Im f sara data delle righe linearmente indipendenti?
III)
Secondo voi una volta trovati i vettori di arrivo come mi conviene scrivere la matrice per trovare una base dell'immagine,
con la sua dimensione? (trovo un po di difficolta nell'impostazione della matrice)
Grazie anticipate.