Sottospazi di uno spazio normale

[nadia89]

Ciao a tutti,
devo svolgere un esercizio che richiede di dimostrare che ogni sottospazio chiuso di uno spazio normale è anch'esso normale.
Ora avendo un pò di difficoltà ad iniziare vorrei capire perchè specifica che deve essere chiuso ( magari in questo modo capisco come dimostrarlo..).

[dissonance]

Beh perché quando passi ad un sottospazio le famiglie degli aperti e dei chiusi possono cambiare radicalmente: prendi per esempio $RR$ e $ZZ$ che dal punto di vista topologico sono un po' come il giorno e la notte. Ma se il sottospazio è chiuso allora la famiglia dei chiusi si semplifica molto: se $X$ è lo spazio ed $Y$ il sottospazio, una parte $F$ di $Y$ è chiusa rispetto alla topologia di $X$ se e solo se essa è chiusa rispetto alla topologia di $Y$. (Per inciso, un risultato simmetrico vale con gli aperti: se $Y$ è aperto allora una parte $U$ di $Y$ è aperta risp. alla topologia di $Y$ se e solo se essa è aperta rispetto alla topologia di $X$).

[nadia89]

si però se $A $è un aperto di $S$ ,$ A \capX $è aperto di $X$ ( $X$ sottospazio di $S$).
Quindi se ho l'esistenza di un aperto di $S$ di conseguenza ho quello di un aperto di $X$..

[dissonance]

Ho capito, ma prendi due chiusi del sottospazio. Se il sottospazio è chiuso, questi sono chiusi pure dello spazio grande e quindi li puoi separare con aperti. Ma se il sottospazio non è chiuso, questi due chiusi possono essere qualsiasi cosa e potresti non riuscire a separarli.

[nadia89]

cosa significa "posso separare con aperti"

[dissonance]

Quello che, per definizione, puoi fare con due chiusi disgiunti di uno spazio normale.

[mvalenti]

Ho capito, ma prendi due chiusi del sottospazio. Se il sottospazio è chiuso, questi sono chiusi pure dello spazio grande e quindi li puoi separare con aperti. Ma se il sottospazio non è chiuso, questi due chiusi possono essere qualsiasi cosa e potresti non riuscire a separarli.

Ciao, stavo cercando di dimostrare che un sottospazio Y di uno spazio normale X è normale se Y è chiuso in X. La risposta che hai dato mi sembra intuitivamente corretta, tuttavia non riesco a dimostrare formalmente che se A è chiuso in Y e Y è chiuso in X allora A è chiuso anche in X. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[dissonance]

Ciao, benvenuto o benvenuta. Quella di cui parli è una proprietà generale degli spazi topologici, molto semplice da dimostrare. Sia \(X\) uno spazio topologico e sia \(A\subset Y\subset X\). Come dici, supponiamo che \(A\) sia chiuso nella topologia di sottospazio di \(Y\) e che \(Y\) sia chiuso in \(X\). Per definizione di topologia di sottospazio, esiste un chiuso \(F\subset X\) tale che \(A=F\cap Y\). Ma allora \(A\) è l'intersezione di due chiusi di \(X\) e quindi è esso stesso un chiuso di \(X\).

[mvalenti]

Giustissimo e, a vederlo ora, semplicissimo! A volte più le cose sono semplici e più mi perdo in un bicchier d’acqua. Non di meno, ho capito anche che è il caso mi faccia anche le dimostrazioni banali del capitolo sui sottospazi. Grazie mille

[j18eos]

Se non ricordo male la dimostrazione completa (e lunga) è disponibile sul libro di topologia di Munkres!

Considerato il prodotto numerabile \(\displaystyle X=[0,1]^{\omega}\) di \(\displaystyle[0,1]\) con sé stesso, ove ogni spazio fattore è dotato della topologia naturale indotta da \(\displaystyle\mathbb{R}\); si ha che:

1. \(\displaystyle X\) è uno spazio di Hausdorff compatto, per cui è normale;
2. \(\displaystyle A=]0,1[^{\omega}\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle X\) che non è normale.[/list]