Geometria I - abbastanza urgente

[prime_number]

Ciao... Una domanda sicuramente facile per tutti voi, ma che a me lascia qualche dubbio

Provare che A appartenente alle matrici di ordine n sul campo R e A^3 - 2A - I_n =0 provano che A è invertibile.

Allora, è lecito aggiungere ad entrambi i membri I_n (la matrice identità di ordine n)

Quindi A^3 - 2A= I_n

Se io fossi sicura di poter raccogliere, avrei A(A^2 - 2I_n)=I_n e capirei che A è invertibile perchè per definizione lo è se esiste una matrice B tale che AB=BA=I_n. Ma posso raccogliere? Se sì, qualc è il motivo matematico per cui è lecito farlo?

Vi prego datemi una mano, ho l'esame tra poco!!

Vi ringrazio in anticipo e approfitto per fare gli auguri di Buone Feste a tutti!!!

Paola

[Luca.Lussardi]

Nello spazio delle matrici quadrate di ordine $n$ vale la proprieta' distributiva del prodotto rispetto alla somma? Io credo di si', per cui non dovresti aver problemi.

[prime_number]

Hai ragione Luca, si tratta di una dimostrazione più che banale! Si vede che ero un po' fusa... Grazie mille della risposta!!

Paola

[prime_number]

Ciao a tutti, chiedo ancora il vostro aiuto per Geometria

(dal Sernesi, Geometria 1, es. 2 pag. 111)

Sia A uno spazio affine reale con spazio vettoriale associato V. Si supponga fissato un riferimento affine Oe1e2..en. Sia H "contenuto in" A un iperpiano di equazione

a1X1 + ... + anXn + c = 0

I sottoinsiemi di A

E+ = {P(x1, ... , xn) : a1x1 + ... + anxn +c >= 0 }

E- = {P(x1, ... , xn) : a1x1 + ... + anxn +c <= 0 }

sono i semispazi di A definiti da H. Dalla definizione segue che E+ intersecato E- dà H, mentre la loro unione dà A.

Dimostrare che i semispazi sono sottoinsiemi convessi di A.


Datemi una mano, vi prego, ho l'esame presto!!

Paola

[karl]

Non conosco il Sernesi e quindi ti do una risposta conforme alle mie conoscenze in
materia,magari assai diverse nella forma da quelle che ti aspetti.
Siano $P_1=(x_i)$ e $P_2=(y_i)$ due qualsiasi punti di E+ e quindi
soddisfacenti le condizioni :
(1) $sum(a_ix_i)>=0 $ ,$sum(a_iy_i)>=0 $ .Il generico punto P del segmento $P_1P_2$ sara' dato da:
$P=(z_i)=(tx_i+(1-t)y_i)$ con $0<=t<=1$.Pertanto sara':
$sum a_iz_i=sum a_i[tx_i+(1-t)y_i]=tsum a_ix_i+(1-t)sum a_iy_i$
Quindi,per le (1),si ha:$sum a_iz_i>=0$ e cio' prova che E+ e' convesso.
Analogamente per E-.
Archimede.

[prime_number]

Grazie mille archimede!!

Paola