Penso si intendesse una base di V, wedge...
Cmq Paola sicura che si tratti di geometria??? So che l'Abate (testo di geometria 1)riporta l'assioma della scelta, ma io non ho ancora capito cosa c'entri con l'algebra lineare
... (almeno mi pare che questo problema sia da risolvere così)
Io farei così (posto la traccia non so se corretta). Non ricordo benissimo le cose che utilizzo, quindi potrei confondermi...
Premessa: una base è un insieme libero di vettori massimale, ovvero un insieme di vettori indipendenti tale che se ce ne aggiungi un qualsiasi altro, diventano dipendenti.
Se l'insieme dei generatori fosse finito ce la caveremmo togliendo i vettori uno ad uno... se è di dimensione infinita, supponiamo che per ogni sottoinsieme di vettori indipendenti (anche infinito), ne possa sempre aggiungere uno di modo che l'insieme resti composto da vettori indipendenti (altrimenti avrei già trovato la base!)... applico il lemma di Zorn in questo modo (molte cose sono da dimostrare):
- Insieme considerato: sottoinsiemi della famiglia di generatori composti da vettori tra loro indipendenti;
- ci metto come ordinamento parziale l'inclusione;
- per trovare il maggiorante di una catena faccio l'unione di tutti gli elementi della catena;
Allora per Zorn esiste un elemento massimale M. Se M fosse diverso dall'insieme dei generatori iniziale, potrei per ipotesi aggiungere ad M un vettore di modo che l'insieme M unito questo vettore si ancora fatto da vettori indipendenti. Ma allora M non sarebbe massimale. Contraddizione. Quindi M=tutti i generatori. Ma allora tutti i generatori erano indipendenti e quindi erano una base (indipendenti e generano). Anche con queste ipotesi ci è andata bene
...
Ciao!
Inviato: 05/01/2006, 14:36
