Autovalori e Autovettori

[Pivot]

Ciao a tutti.

Calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice:

$2 0 2$
$0 1 0$
$2 0 -1$

Allora ho trovato, risolvendo l'equazione caratteristica, che lo spettro Sp(A) = {1, -2, 3};

Ora come faccio a trovare gli autovettori? Pensavo di partire dalla definizione di autospazio, ma non so come procedere. Mi date una mano?

Grazie anticipate.

[Tipper]

Consideriamo l'autovalore 1, in questo caso la matrice A-lI risulta essere:
1 0 2
0 0 0
2 0 -2
Moltiplichiamo questa matrice per il vettore colonna (x,y,z) e uguagliamo tutto al vettore colonna (0,0,0), otteniamo così questo sistema:
x+2z=0
0=0
x-z=0

x=z
x+2z=0
Poniamo y=a dove a è un parametro libero.
La soluzione del sistema è x=0 y=a z=0 così il generico autovettore relativo all'autovalore 1 ha queste componenti:
(0,a,0) = a(0,1,0)
Tutti gli autovettori relativi all'autovalore 1 sono i vettori appartenti allo spazio vettoriale generato da (0,1,0) (questo è l'autospazio relativo all'autovalore 1).
Per gli altri tre autovalori si procede analogamente.

[Pivot]

grazie mille Tipper.

[Tipper]

Prego