Autovalori e Autovettori 2

Messaggioda Pivot » 10/01/2006, 11:36

Come si trova, in generale, la matrice associata ad una applicazione lineare?

Esercizio 1)

Sia B = {e_1+e_2, e_1 - e_2} una base di R^2 e T:R^2 rarr R^2 l'unico endomorfismo tale che

T(1,1) = (3,-1)
T(1,-1) = (9,-3)

Determinare gli autovalori e gli autospazi di T, dimostra che T è diagonalizzabile e trova una base rispetto a cui la matrice associata a T è diagonale.

Come si procede?
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Messaggioda Tipper » 10/01/2006, 12:18

L'applicazione va da R^2 a R^2, quindi è rappresentata da una matrice del tipo
A B
C D
dove A B C D sono costanti da determinare.
Sappiamo che T(1,1) = (3,-1)
Prendiamo la matrice, la moltiplichiamo per il vettore colonna (1,1) e uguagliamo al vettore colonna (3,-1) ottenendo:
A + B = 3
C + D = -1
Sappiamo inoltre che T(1,-1) = (9,-3) facendo lo stesso si ottiene:
A - B = 9
C - D = -3
Abbiamo un sistema di quattro equazioni in quattro incognite, risolvendo si trovano A B C D e quindi anche la matrice che rappresenta T.

PS: Suppongo che le coordinate siano tutte espresse rispetto alla base canonica di R^2, in questo caso la matrice ora trovata rappresenta l'applicazione rispetto alla base canonica.
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Messaggioda Pivot » 10/01/2006, 13:15

si, ma in generale se ho un' applicazione lineare, anche diversa da un endomorfismo, come si troca la matrice associata all'applicazione?
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Messaggioda Camillo » 10/01/2006, 13:45

Accostando in un'unica matrice i vettori colonna che siano i trasformati della base canonica .

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Messaggioda Tipper » 10/01/2006, 13:53

Se l'applicazione va da R^n a R^m allora la matrice associata ha m righe e n colonne
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Messaggioda Pivot » 10/01/2006, 13:55

per trasformati intendi le immagini madiante f (applicazione)?
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Messaggioda Camillo » 10/01/2006, 15:55

Sì esatto
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Messaggioda Camillo » 10/01/2006, 19:26

Continuando nell'esercizio la matrice associata all'endomorfismo T è dunque :

$ ((6,-3),(-2,1)) $ .

Ricerca degli autovalori e autospazi di T :
Per trovare il polinomio caratteristico basta calcolare : det $(((6-k),-3),(-2,(1-k))) $ e si trova : $ k(7-k) $ per cui gli autovalori sono :

$k_1 = 0 ; k_2 = 7 $

Pe determinare l'autospazio relativo all'autovalore $k_1 = 0 $ si deve risolvere il sistema :

$6x_1-3x_2 = 0 $
$-2x_1+x_2 = 0 $
da cui : $ x_2 = 2 x_1 $ e quindi l'autospazio è indicato dal vettore : $( a,2a )$ con $ a in RR $

per l'autospazio relativo all'autovalore $k_2 = 7 $ si deve risolvere il sistema :

$ -x_1-3x_2 = 0 $
$ -2x_1 -6x_2 = 0 $
da cui : $ x_1 = 3 x_2 $ e l'autospazio è indicato dal vettore : $ ( 3b,b ) $ con $ b in RR $ .

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Messaggioda Pivot » 10/01/2006, 19:31

ti ringrazio Camillo per l'esercizio. Ora lo confronto con il mio.
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