Matematicamente.it

Come si trova, in generale, la matrice associata ad una applicazione lineare?

Esercizio 1)

Sia B = {e_1+e_2, e_1 - e_2} una base di R^2 e T:R^2 rarr R^2 l'unico endomorfismo tale che

T(1,1) = (3,-1)
T(1,-1) = (9,-3)

Determinare gli autovalori e gli autospazi di T, dimostra che T è diagonalizzabile e trova una base rispetto a cui la matrice associata a T è diagonale.

Come si procede?

L'applicazione va da R^2 a R^2, quindi è rappresentata da una matrice del tipo
A B
C D
dove A B C D sono costanti da determinare.
Sappiamo che T(1,1) = (3,-1)
Prendiamo la matrice, la moltiplichiamo per il vettore colonna (1,1) e uguagliamo al vettore colonna (3,-1) ottenendo:
A + B = 3
C + D = -1
Sappiamo inoltre che T(1,-1) = (9,-3) facendo lo stesso si ottiene:
A - B = 9
C - D = -3
Abbiamo un sistema di quattro equazioni in quattro incognite, risolvendo si trovano A B C D e quindi anche la matrice che rappresenta T.

PS: Suppongo che le coordinate siano tutte espresse rispetto alla base canonica di R^2, in questo caso la matrice ora trovata rappresenta l'applicazione rispetto alla base canonica.

si, ma in generale se ho un' applicazione lineare, anche diversa da un endomorfismo, come si troca la matrice associata all'applicazione?

Accostando in un'unica matrice i vettori colonna che siano i trasformati della base canonica .

Camillo

Se l'applicazione va da R^n a R^m allora la matrice associata ha m righe e n colonne

per trasformati intendi le immagini madiante f (applicazione)?

Sì esatto

Continuando nell'esercizio la matrice associata all'endomorfismo T è dunque :

$ ((6,-3),(-2,1)) $ .

Ricerca degli autovalori e autospazi di T :
Per trovare il polinomio caratteristico basta calcolare : det $(((6-k),-3),(-2,(1-k))) $ e si trova : $ k(7-k) $ per cui gli autovalori sono :

$k_1 = 0 ; k_2 = 7 $

Pe determinare l'autospazio relativo all'autovalore $k_1 = 0 $ si deve risolvere il sistema :

$6x_1-3x_2 = 0 $
$-2x_1+x_2 = 0 $
da cui : $ x_2 = 2 x_1 $ e quindi l'autospazio è indicato dal vettore : $( a,2a )$ con $ a in RR $

per l'autospazio relativo all'autovalore $k_2 = 7 $ si deve risolvere il sistema :

$ -x_1-3x_2 = 0 $
$ -2x_1 -6x_2 = 0 $
da cui : $ x_1 = 3 x_2 $ e l'autospazio è indicato dal vettore : $ ( 3b,b ) $ con $ b in RR $ .

Camillo

ti ringrazio Camillo per l'esercizio. Ora lo confronto con il mio.