Algebra applicazioni

[Pivot]

Ciao a tutti.

Provare che $f : M_2(R) rarr M_2(R) / f(A) = A - A^t$ (trasposta)

1) è lineare

2) trovare Ker f e Im f

3) Ker f + Im f sono sommandi diretti?

Ora, per il primo e secondo punto non ci sono problemi.
è solo il terzo punto che non riesco a capire. So che per essere sommandi diretti la loro intersezione deve essere nulla.
Ora posso sempre scirvere la mia matrice A come la somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica. Però non riesco a capire perchè l'intersezione viene nulla?

Grazie.

[amel]

Salve! Questo è il mio primo post!

Dunque, come avrai visto il nucleo è il sottospazio delle matrici 2x2 simmetriche.
Per vedere che la somma dei sottospazi è diretta, è sufficiente mostrare che la loro intersezione è il singoletto {0}.
Abbiamo detto che il Ker f è l'insieme delle matrici del tipo:
${[(a,b),(b,c)] , a,b,c in R}$
Vediamo ora Im f; notiamo che, ogni matrice $A=[(x,y),(z,k)]$ è tale che:
$A-A^t=[(x,y),(z,k)]-[(x,z),(y,k)]=[(0,y-z),(z-y,0)]=[(0,y-z),(-(y-z),0)]$
Perciò, abbiamo:
$Im f = {[(0,u),(-u,0)] , u in R}$
Diventa, così evidente che una matrice appartenente alla intersezione di questi due sottospazi può essere solo la matrice nulla.
Spero di essere stato chiaro (forse non moltissimo, però...) e di non avere scritto qualche cretinata...
Ciao!

[Pivot]

no ho capito grazie.