L’area del poligono in C

Messaggioda JeKO » 13/01/2006, 11:32

Innazitutto ringrazio chi ieri mi ha supportato per l'esercizio sulle equazioni in $CC$ oggi stavo vedendo questo tipo di esercizi, che non riesco a capire molto bene.

Si tratta di calcolare l'area di un poligono tale che ${ z in CC : z^4 = 2sqrt(10) (3 - i) }$

Per prima cosa so che il poligono in questione è un quadrilatero, ed i vertici sono le radici quarte di $z$
Allora provo a calcolare le radici quarte:

$ z = 2sqrt(10) (3 - i) = 6sqrt(10) - 2sqrt(10) i$
ora raccolco la radice
$ (sqrt(10)(6 - 2i))^(1/4) $
hmm ponendo $a = 6-2i$
mi calcolo $|a| = sqrt(6^2 + 2^2) = 8$
e quindi:
$(sqrt(10) 8 e^(i\theta))^(1/4)$
Ora arrivati a questo punto ho riscritto il mio $z$ in questa forma, la mia domanda è adesso che vado a calcolarmi le radici quarte del modulo, perchè $\theta$ non riesco a calcolarlo come un numero "facile da scrivere", mi chiedo ma allora $|z|^(1/4) = r$ ? E per $r$ intendo proprio il raggio della circonferenza dove è inscritto il mio poligono? Diciamo che questa cosa che ho detto è vera, o per lo meno è questo che ho capito studiando questo mattina:

$r = 10^((1/2)(1/4)) 8^(1/4)$
$r^2 = 10^(((1/2)(1/4)(2))) 8^((1/4)(2))$
$r^2 = 10^(1/2) 8^(1/2)$
$r^2 = 80^(1/2)$

Quindi l'area di questo poligono è $sqrt(80)$, come la soluzione dell'esercizio che mi ha proposto il mio professore... ora vorrei capire se il ragionamento che ho fatto è giusto, o se è stata una semplice coincidenza.
Grazie.
E scusate per tutte le parentesi, ma avevo qualche dubbio sulla correttezza dei calcoli.
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Messaggioda karl » 13/01/2006, 15:36

Piu' semplicemente si puo' procedere cosi':
$r=|z|=root[4](2sqrt(10)*|3-j|)=root[4](2sqrt(10)*sqrt(10))=root[4](20)$
Quindi:
$Area=2r^2=2*sqrt(20)=sqrt(80)$
Archimede
karl
 

Messaggioda JeKO » 14/01/2006, 11:41

Si in effetti... più semplice e veloce. Grazie per avermelo fatto nontare.
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