Aiuto Matrici

[nakj]

Salve, ho un problema, data la matrice:A = [2 1;0 1] come si determina l'insieme S ={X app. R^(2,2) tale che X^2=A^2} e si trova una base di L(S)?

Ho posto la matrice X=[a b;c d] e poi X^2=[4 3;0 1]

[a^2+bc ab+bd;ac+cd bc+d^2]=[4 3;0 1]

risolvendo ho che c=0, d=1, a=2, b=1 cioè la matrice A
cosa sbaglio?

[prime_number]

Secondo me nulla, perchè:

Il det(A) non è nullo --> A è invertibile

X*X=A*A

Chiamo B l'inversa di A.

Quindi B*X*X= $I_n$ *A

B*X*X*B = $I_n$

Quindi necessariamente B deve essere anche l'inversa di X. Ma siccome la matrice inversa è unica, X=A.

A me sembra fili..

Paola

[Camillo]

Io trovo più soluzioni per la matrice X , anzi per essere precisi ne trovo quattro, di cui ovviamente una è la matrice A .
Le equazioni sono :
$ a^2+bc = 4$
$b(a+d) = 3 $
$ c(a+d) = 0 $
$ bc+d^2 = 1 $
Dalla terza equazione si deduce che $ c = 0 $ [ non può essere : $ d = -a $ perchè entrerebbe in conflitto con la seconda equazione].
Di conseguenza :

$ a^2 = 4 ;rarr a= 2 ; a = -2 $
$ d^2 = 1 ; rarr d = 1 ; d= -1 $
$ b= 3/(a+d ) $

In conclusione trovo queste matrici X che soddisfano i requisiti richiesti :

$X_1 = ( (2,1),(0,1)) = A $

$ X_2 =((2,3),(0,-1)) $ ; $X_3 = ((-2,-3),(0,1)) $ ; $ X_4 = (( -2 ,-1),(0, -1)) $ e che rappresentano l'insieme S .

Mi lasciano perplesso le ultime deduzioni di Paola, dopo :

$B*X *X*B = I $
"Quindi B deve essere anche l'inversa di X . Siccome la matrice inversa è unica , X = A."

Resta comunque da determinare una base di L(S) .

Camillo

[nakj]

Ma una base di L(S) non è formata da X_1 e X_2?

[karl]

E' giusto :una base e'(X1,X2) in quanto e' facile vedere che X1 e X2 sono
lin.ind. mentre X3 e X4 sono ciascuna combinazione lineare delle rimanenti.
Archimede

[nakj]

Un ultimo dubbio, avendo sempre i dati precedenti e data l'applicazione
g:L(S)->L(S)
definita da
F(I)=A
F(A)=I-2A^(-1)
con I identica, deteminare la matrice associata a g rispetto la bese B=(A^2,A^3)
avevo pensato di trovare prima la matrice rispetto la bese canonica e poi cambiarla.
A questo punto se non erro i dati si possono intendere come:
F(1,0,0,1)=(2,1,0,1)
F(2,1,0,1)=(0,1,0,-1)
ma l'altra condizione qual è? Non dovrei trovare F(1,0,0,0), F(0,1,0,0), F(0,0,0,1)