Geometria analatica nello spazio

[schatz]

Salve ragazzi..ho bisogno del vostro aiuto..devo sostenere l'esame di geometria e volevo sapere se vi era possibile svolgere questo esercizio.Grazie

-Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino le rette r:x - 2y - 1 = 2x - y = 0 e s: (x, y, z) = /0, 0, 1) + t(1, -1, 0);

(i) verificare che r e s sono incidenti;
(ii) rappresentare il piano per r e s;
(iii) rappresentare la retta per (0, -2, 2) ortogonale a r e parallela al piano pigreco: y-z = 3;
(iv) il piano pigreco interseca la sfera x^2 + y^2+ z^2 - 2y + 2z = 0 in una circonferenza? Perchè?



Spero possiate aiutarmi!Grazie mille!

[karl]

Forse sbaglio ma dai miei calcoli le due rette non risultano incidenti ma sghembe.
A parte la "/" al posto di "(" ,sei sicura di aver scritto bene tutto il resto?
Archimede.

[Camillo]

Anche a me non vengono incidenti , credo ci sia qualche errore nei dati iniziali.

Camillo

[schatz]

si hai ragione c'è la ( invece di /!

kuesti sono i dati...è stato uno skritto di esame!io sn riuscita a fare i primi 3 punti mi mankava il 4 e volevo poi konfrontare kn i vostri risultati

[schatz]

Anche a me non vengono incidenti , credo ci sia qualche errore nei dati iniziali.

Camillo

io ho fatto l'intersezione tra le due rette portandomi in forma kartesiana la retta s e mettendo a sistema e mi trovo km punto di intersezione:

P(0, 0, 1)

[karl]

Ma il punto P(0,0,1) non appartiene alla retta r (almeno come l'hai scritta te) perche'
non soddisfa l'equazione del primo dei 2 piani (x-2y-1=0).
Archimede

[schatz]

il punto sn le soluzioni del mio sistema rikavato dall'intersezione delle due rette!

[karl]

Se un punto appartiene ad una retta e questa ,a sua volta appartiene ad un piano
quest'ultimo deve contenere anche il punto.Ma cosi' non e' nel caso di P(0,0,1)!
Te ne devi convincere,a meno che non parliamo di cose diverse.Ma quali?
(non si capisce bene quale sarebbe questo sistema...)
Se lo posti forse si puo' analizzare meglio la cosa.
Ciao
Archimede.

[schatz]

Se un punto appartiene ad una retta e questa ,a sua volta appartiene ad un piano
quest'ultimo deve contenere anche il punto.Ma cosi' non e' nel caso di P(0,0,1)!
Te ne devi convincere,a meno che non parliamo di cose diverse.Ma quali?
(non si capisce bene quale sarebbe questo sistema...)
Se lo posti forse si puo' analizzare meglio la cosa.
Ciao
Archimede.

Ti ringrazio x il tuo aiuto ma la kosa + importante per me è svolgere il iv punto o almeno potresti skrivermi in generale km si fa a svolgerlo anke kon altri dati?grazie!

[karl]

IV) Un possibile (ma non l'unico) procedimento puo' essere questo.
La sfera ha il centro nel punto (0,1,-1) ;la normale per tale centro al piano e':
$x=0,(y-1)/1=(z+1)/(-1)$ ovvero in forma parametrica:
$x=0,y=1+t,z=-t-1$.L'intersezione di questa normale col piano porta a:
$1+t+1+t=3->t=1/2$ e quindi l'intersezione e' $C(0,3/2,-3/2)$
La curva intersezione della sfera col piano si trova col sistema:
$[x^2+y^2+z^2-2y+2z=0,y=z+3]$ da cui si ricavano le equazioni della curva:
$[x=+-sqrt(-2z^2-6z-3),y=z+3,z=z]$
La distanza del generico punto P di tale curva da $C(0,3/2,-3/2)$ e':
$PC^2=(-2z^2-6z-3)+(-3/2-z)^2+(-3/2-z)^2=3/2=$costante
Pertanto la nostra curva e' la circonferenza del piano y-z=3 di centro $C(0,3/2,-3/2)$ e
raggio $sqrt(3/2)$
Archimede