Matematicamente.it

Il tuo è un modo per farmi capire che questo caso è impossibile che si verifichi? XD

Guida molto utile, mi è servita a ripassare queste nozioni oramai dimenticate.
nell'appendice A, quella dove vengono spiegati i ranghi, c'è una frase illeggibile: \( \displaystyle rank(A)
potresti spiegare?

Grazie, saluti.

Scusa, ma nel caso 3) non si dovrebbe scrivere che il rango (A)=rango (A|b)>n
invece che rango (A)=rango (A|b) diverso n ?
ciao

Il sistema in questione è:

$\{(2x + 3y - 2z = 4),(3x - 2y + 5z = 1):}$

Ho applicato una delle tre trasformazioni elementari, moltiplicando la prima equazione per lo scalare $-3/2$ e poi sommandola alla seconda equazione, e mi ritrovo il sistema:

$\{(2x + 3y - 2z = 4),(-5y + 8z = 1):}$

Ora come devo procedere ? Secondo le proprietà del sistema lineare ridotto, ho 1 sola varibile indipendente ( num. di incognite meno num. di equazioni del sistema ).

@ Mr.Mazzarr: L'idea è che puoi usare una (a piacere tuo) delle tre incognite come parametro e calcolare, in funzione di tale parametro, tutte le soluzioni del sistema.

Ad esempio, prendendo come parametro la \(z\), i.e. ponendo \(z=t\), trovi:
\[
\begin{cases}
2x+3y=4+2t\\
-5y=1-8t\\
z=t
\end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad
\begin{cases}
x=-\frac{7}{5}\ t + \frac{23}{10}\\
y=\frac{8}{5}\ t - \frac{1}{5}\\
z=t
\end{cases}
\]
(se non ho sbagliato i conti), dunque le soluzioni del tuo sistema sono tutti e soli i vettori \((x,y,z)\in \mathbb{R}^3\) che si ottengono da \((-\frac{7}{5}\ t + \frac{23}{10} , \frac{8}{5}\ t - \frac{1}{5}, t)\) al variare di \(t\in \mathbb{R}\).

Geometricamente, le soluzioni del tuo sistema sono tutti e soli i punti \((x,y,z)\) comuni ai due piani \(\Pi_1:\ 2x+3y-2z=4\) e \(\Pi_2:\ 3x-2y+5z=1\).
I piani \(\Pi_1\) e \(\Pi_2\) non sono paralleli né coincidono, dunque essi si intersecano necessariamente in una retta dello spazio cartesiano; pertanto le tue soluzioni \((x,y,z)\) sono tutti e soli i punti che stanno sulla retta ottenuta intersecando \(\Pi_1\) e \(\Pi_2\).

Ottimo gugo, grazie mille.

P.s.
Non avendo un libro di esercizi, c'è online un sito dove posso trovare tantissimi esercizi su sistemi lineari, matrici ed altro argomenti di Geometria e Algebra Lineare ?

Una domanda: quando il sistema contiene delle variabili di cui dobbiamo trovare il valore affinchè esistano soluzioni, del tipo:
$\{(x+y+z=k),(kx+y+2z=1),(x+ky+3z=1):}$
come faccio a scegliere il valore giusto di $k$? In questo esempio viene scelto $k=1$ perchè è il valore che semplifica il più possibile la matrice (nel senso che i termini con $k$ vengono annullati), e per questo io addotto sempre questa "tecnica", ma in alcuni casi non è efficace. Non c'è un metodo sicuro per capire su quali valori di $k$ puntare?

Ottima domanda. Si tratta di un cosiddetto "sistema parametrico". In fondo alla guida trovi degli esempi!
Nel tuo caso, ad esempio, costruisci la matrice completa:
\( \displaystyle A|b=\left( \begin{array}{ccc|c}
1&1&1&k\\
k&1&2&1\\
1&k&3&1
\end{array}\right) \)
Ora inizia la discussione. Dato che l'incompleta $A$ è quadrata, conviene partire facendone il determinante: $det A=k^2-5k+4=(k-1)(k-4)$. Ora distinguiamo due casi principali, quando si annulla e quando no.

CASO 1: $det A\ne 0$ ovvero $k\ne 1, 4$
Possiamo già concludere che $rank A = 3$ e anche che $rank A|b = 3$ (anche perchè più di così non può essere e hai già trovato un minore non nullo di ordine massimo!) quindi il sistema è determinato.

CASO 2 : $det A =0$ ovvero $k=1$ oppure $k=4$
Dividiamo nei due sottocasi dunque:
caso 2a: $k=1$
Già sappiamo che $rank A <3$. Non sappiamo nulla di $rank A|b$ ancora. Conviene riscrivere tutta la matrice completa con il valore conosciuto di $k$:
\( \displaystyle A|b=\left( \begin{array}{ccc|c}
1&1&1&1\\
1&1&2&1\\
1&1&3&1
\end{array}\right) \)
Il rango di $A$ è $2$ perché subito notiamo il minore non nullo di ordine $2$: $|(1,2),(1,3)|\ne 0$. Usiamo il metodo degli orlati per vedere il valore del rango di $A|b$. Orliamo nell'unico modo possibile questo minore, ottenendo:
$|(1,1,1),(1,2,1),(1,3,1)|=0$
Allora anche $rank A|b = 2$. Il sistema è indeterminato con $\infty^1$ soluzioni.
caso 2b : $k=4$
... discussione analoga al caso 2a che lascio a te

Paola

Spiegazione chiarissima! Grazie mille! Gli esempi li avevo visti, ma ho capito bene solo ora
Ieri esercitandomi ho scoperto che anche risolvendo direttamente il sistema trovo per quali k la soluzione è unica, infatti man mano che lo risolvo tengo conto per quali k la soluzione non esiste (e nell'esempio che ho postato sono proprio per $k!=1$ e $k!=4$) e quindi una volta risolto questo sistema prendo i k uguali ai valori che ho trovato, li sostituisco al sistema e risolvo. Mi potresti dire se anche così è giusto? Con il determinante è decisamente più veloce, però se dovessi trovarmi una matrice non quadrata almeno so come muovermi... grazie