Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda laurelda » 10/01/2013, 13:28

Spiegazione chiarissima! Grazie mille! :D Gli esempi li avevo visti, ma ho capito bene solo ora :-D
Ieri esercitandomi ho scoperto che anche risolvendo direttamente il sistema trovo per quali k la soluzione è unica, infatti man mano che lo risolvo tengo conto per quali k la soluzione non esiste (e nell'esempio che ho postato sono proprio per $k!=1$ e $k!=4$) e quindi una volta risolto questo sistema prendo i k uguali ai valori che ho trovato, li sostituisco al sistema e risolvo. Mi potresti dire se anche così è giusto? Con il determinante è decisamente più veloce, però se dovessi trovarmi una matrice non quadrata almeno so come muovermi... grazie :D
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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda prime_number » 10/01/2013, 13:41

Sì direi che va bene, ma essendo un procedimento meno metodico attenzione perché qualcosa può sfuggire. Ma se tu ti trovi meglio così fai bene.
Comunque nel caso ti dovesse uscire una matrice non quadrata, niente panico: utilizza il metodo degli orlati (vedi guida). Di solito si cerca di isolare (se possibile!!) dei minori non nulli dove non c'è il parametro, così da poter dire "ok, il rango è ALMENO tot" e poi si orla con righe e colonne con il parametro quando non si può fare altrimenti e si discute.

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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda laurelda » 10/01/2013, 13:49

Grazie ancora, mi hai tolto un sacco di dubbi :D
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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda miry77 » 06/02/2013, 15:51

E quando sia la matrice incompleta e quella completa sono rettangolari e siamo in presenza di un parametro come si procede? bisogna applicare il principio dei minori orlati e ok, ma come? e di quale matrice??? di quella completa o incompleta??? poichè il discorso rientra in quel che è qui scritto, potreste fare un esempio di un sistema di tal genere e commentarlo?
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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda prime_number » 08/02/2013, 10:43

Dipende... a tutte e due. Il metodo degli orlati è un metodo generale per trovare il rango di una matrice. Tu per analizzare un sistema devi confrontare i ranghi di matrice completa e incompleta. Naturalmente essendo l'incompleta parte della completa di solito uno parte dal rango dell'incompleta e poi utilizza questi conti *anche* per capire quello della completa (mica si rifà tutto il lavoro daccapo! :D ).
Se hai ancora dubbi puoi provare a postare il tuo esercizio, o qui o in un nuovo topic (vedo che sei nuova quindi specifico: mi raccomando scrivi le formule con il sistema apposito, se no leggere diventa un inferno per chi vuole risponderti).

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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda L_Otto_Bello » 11/02/2014, 20:30

Grazie, veramente ottimo post mi è molto utile per la risoluzione di sistemi lineari! Grazie ancora per il lavoro svolto!
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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda Sossella » 02/05/2014, 09:09

Ciao a tutti! mi trovo in difficoltà a risolvere un sistema lineare al variare di 3 parametri :cry:
Il sistema è il seguente:
$ { ( x-y+3t=5alpha ),( alphax+z+t=2gamma ),( 2x+betay+3z=1 ):} $
Allora io calcolo il determinante della matrice incompleta A del sistema Ax=B così da verificarne il rango. Vedo (calcolando un minore di ordine 2) che il sistema ha rango $ >= 2 $ . Ora calcolo il determinante di A
$ | ( 1 , -1 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , beta , 3 ) | $ = $ -beta+3alpha(1+beta)-5 $
ora io procederei analizzando il determinante al variare di beta...ma poi mi blocco perchè se pongo $ beta $ =-1 il determinante è sempre $ beta!= 0 $ per $ beta!= -5 $ ma non so... :?
Sossella
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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda garnak.olegovitc » 02/05/2014, 13:23

@Sossella,

Sossella ha scritto:Ciao a tutti! mi trovo in difficoltà a risolvere un sistema lineare al variare di 3 parametri :cry:
Il sistema è il seguente:
$ { ( x-y+3t=5alpha ),( alphax+z+t=2gamma ),( 2x+betay+3z=1 ):} $
Allora io calcolo il determinante della matrice incompleta A del sistema Ax=B così da verificarne il rango. Vedo (calcolando un minore di ordine 2) che il sistema ha rango $ >= 2 $ . Ora calcolo il determinante di A
$ | ( 1 , -1 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , beta , 3 ) | $ = $ -beta+3alpha(1+beta)-5 $
ora io procederei analizzando il determinante al variare di beta...ma poi mi blocco perchè se pongo $ beta $ =-1 il determinante è sempre $ beta!= 0 $ per $ beta!= -5 $ ma non so... :?


tu hai il sistema lineare $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
x-y+3t=5\alpha \\
\alpha x+z+t=2\gamma\\
2x+\beta y+3z=1
\end{matrix}\right.$$ ergo vedo che ha \( 4 \) variabili, \(x,y,z,t\), e la matrice incompleta e completa di \( \Sigma \) sono rispettivamente $$A(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& -1& 0 &3 \\
\alpha & 0&1 &1 \\
2& \beta& 3& 0
\end{Vmatrix} \text{ ; } A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& -1& 0 &3 &5\alpha\\
\alpha & 0&1 &1 &2 \gamma\\
2& \beta& 3& 0 &1
\end{Vmatrix}$$
ciò che non mi torna sono gli elementi \( a_{22}=1,a_{33}=3 \) della tua matrice
Sossella ha scritto: .... $ | ( 1 , -1 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , beta , 3 ) | $ ....

da dove sbucano fuori!?
Saluti
\(2592=2^59^2\)
\( 3435=3^3+4^4+3^3+5^5\)
\( [ (R|R^{-1}) \; \cap \; Di\;] \cup [(R^{-1}|R) \; \cap \; Di\;] \cup [\;\sim R \;\dagger \emptyset\;] \cup [\;\emptyset \; \dagger \sim R \;] = \emptyset \)
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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda Sossella » 02/05/2014, 14:17

Hai ragione, ho cannato di disattenzione :oops:
Considero la matrice del sistema completo Ax=B $ ( ( 1 , -1 , 0 , 3 , 5alpha ),( alpha , 0 , 1 , 1 , 2gamma ),( 2 , beta , 3 , 0 , 1 ) ) $ e calcolo il determinante dei suoi minori per poter calcolare il rango.
C1= $ | ( 1 , 0 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , 3 , 0 ) | -> alpha !=0 ->alpha !=-1 $
C2= $ | ( -1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ),( beta , 3 , 0 ) | -> beta !=0 -> beta!=1 $
C3 (Matrice A|B) = $ | ( 0 , 3 , 5alpha ),( 1 , 1 , 2gamma ),( 3 , 0 , 1 ) | ->gamma!=0 -> gamma!=5/6alpha+1/6 $
è corretto il procedimento?
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Re: Guida alla risoluzione dei sistemi lineari

Messaggioda garnak.olegovitc » 02/05/2014, 15:17

@Sossella,

Sossella ha scritto:Hai ragione, ho cannato di disattenzione :oops:
Considero la matrice del sistema completo Ax=B $ ( ( 1 , -1 , 0 , 3 , 5alpha ),( alpha , 0 , 1 , 1 , 2gamma ),( 2 , beta , 3 , 0 , 1 ) ) $ e calcolo il determinante dei suoi minori per poter calcolare il rango.
C1= $ | ( 1 , 0 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , 3 , 0 ) | -> alpha !=0 ->alpha !=-1 $
C2= $ | ( -1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ),( beta , 3 , 0 ) | -> beta !=0 -> beta!=1 $
C3 (Matrice A|B) = $ | ( 0 , 3 , 5alpha ),( 1 , 1 , 2gamma ),( 3 , 0 , 1 ) | ->gamma!=0 -> gamma!=5/6alpha+1/6 $
è corretto il procedimento?


il rango di una matrice, in questo caso di ordine \( 3 \times 5 \), è un qualsiasi minore non nullo di ordine \( 3 \) estratto dalla matrice.. tu hai la matrice completa di \( \Sigma\), ovvero $$A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix} 1& -1& 0 &3 &5\alpha\\ \alpha & 0&1 &1 &2 \gamma\\ 2& \beta& 3& 0 &1 \end{Vmatrix}$$ e prendi nel calcolo di \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))\) il minore $$\det(\begin{Vmatrix} 1& 0 &3 \\ \alpha & 1 &1 \\ 2& 3& 0 \end{Vmatrix})$$ dal calcolo, usando Laplace rispetto alla prima colonna, risulta $$\det(\begin{Vmatrix} 1& 0 &3 \\ \alpha & 1 &1 \\ 2& 3& 0 \end{Vmatrix})=1\cdot\det(\begin{Vmatrix} 1& 1 \\ 3& 0 \end{Vmatrix})-\alpha \cdot \det(\begin{Vmatrix} 0 &3 \\ 3& 0 \end{Vmatrix})+2\cdot \det(\begin{Vmatrix} 0 &3 \\ 1 &1 \end{Vmatrix})=-3+9\alpha -6=$$$$=9\alpha-9=9(\alpha-1)$$ ergo \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3\) per \( \alpha \neq 1 \)$$

ti domando "perchè considerare un ulteriore minore?", basta che "almeno uno sia non nullo..."
Inolte, il minore in questione è anche un minore della matrice incompleta \( A(\Sigma)\), ergo $$\mathbf{rnk}(A(\Sigma))= \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3 $$ Saluti
\(2592=2^59^2\)
\( 3435=3^3+4^4+3^3+5^5\)
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