Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 24/04/2012, 18:57

13) Let $A$ and $B$ be disjoint compact subspaces of the Hausdorff space $X$. Show that there exist disjoint open sets $U$ and $V$ containing $A$ and $B$ respectively

Per la soluzione utilizziamo il seguente:

Lemma
If $Y$ is a compact subspaces of the Hausdorff space $X$ and $x_0$ is not in $Y$, then there exist disjoint open sets $U$ and $V$ containing $x_0$ and $Y$ respectively.

Sfruttando la compattezza di $B$ ed il Lemma precedente possiamo affermare che per ogni $x \in A$ esiste $V_x$ tale che $x \notin V_x$ e $B \subseteq V_x$. Pertanto $B \subseteq \bigcap_{x \in A} V_x$ e inoltre $A \cap \bigcap_{x \in A} V_x = \emptyset$.

Usando poi la compattezza di $A$ ed il Lemma possiamo dire che per ogni $y \in \bigcap_{x \in A} V_x$ esiste $U_y$ tale che $y \notin U_y$ e $A \subseteq U_y$. Quindi $A \subseteq \bigcap_{y \in \bigcap V_x } U_y$ e inoltre $\bigcap_{y \in \bigcap V_x } U_y \cap \bigcap_{x \in A} V_x = \emptyset$.

Pertanto $\bigcap_{y \in \bigcap V_x } U_y$ e $bigcap_{x \in A} V_x$ sono gli aperti cercati.

Che vi sembra?
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda yellow » 24/04/2012, 22:12

Ma la compattezza c'era nelle ipotesi?
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 24/04/2012, 22:53

Ops nel copiare la traccia ho saltato la parolina "compact". Corretto grazie. xD
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda yellow » 24/04/2012, 23:07

La dimostrazione mi sembra giusta ma hai messo tutte intersezioni invece che unioni :-D .
Domani mi diverto a cercare di dimostrare il lemma (edit: vabbè penso di aver già capito, ma proverò comunque a formalizzare se ho 5 minuti!).
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 24/04/2012, 23:15

yellow ha scritto:La dimostrazione mi sembra giusta ma hai messo tutte intersezioni invece che unioni :-D .

Si lo so che ho messo le intersezioni ... ho sbagliato? Boh ci penserò :smt017
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda yellow » 24/04/2012, 23:18

No sono io che sono troppo pigro per leggere bene. Però a questo punto non capisco perché l'intersezione sia necessariamente un aperto. Ci penserò anch'io :wink: .
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 24/04/2012, 23:20

Ecco questa è una bella domanda, ora ho capito l'obiezione (peraltro calzante xD) Ci penso...
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda maurer » 25/04/2012, 00:13

La dimostrazione è quasi giusta, ma i dettagli sono da sistemare.

Per ogni \( \displaystyle x \in A \) scegliete \( \displaystyle U_x,V_x \) con \( \displaystyle U_x \) intorno di \( \displaystyle x \) , \( \displaystyle V_x \) intorno di \( \displaystyle B \) tali che \( \displaystyle U_x \cap V_x = \emptyset \) .
Al variare di \( \displaystyle x \in A \) gli \( \displaystyle U_x \) ricoprono \( \displaystyle A \) , sicché per compattezza troviamo \( \displaystyle x_1,\ldots,x_n \in A \) tali che \( \displaystyle A \subset U := \bigcup_{i = 1}^n U_{x_i} \) . A questo punto ponete \( \displaystyle V := \bigcap_{i = 1}^n V_{x_i} \) .
Chiaramente \( \displaystyle U \) e \( \displaystyle V \) sono intorni aperti di, rispettivamente, \( \displaystyle A \) e \( \displaystyle B \) . Rimane da mostrare che \( \displaystyle U \cap V = \emptyset \) . Sia \( \displaystyle x \in V \) ; allora se \( \displaystyle x \in U \) si avrebbe \( \displaystyle x \in U_{x_i} \) per qualche \( \displaystyle i = 1,\ldots,n \) ; ma \( \displaystyle x \in V \subset V_i \) e \( \displaystyle V_i \cap U_i = \emptyset \) , quindi abbiamo un assurdo. []
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda perplesso » 25/04/2012, 10:31

Bella! :D Io purtroppo ho complicato la cosa inutilmente perchè invece di usare l'ipotesi di compattezza in modo diretto, mi ero fissato nel voler applicare il lemma due volte (una per A e una per B) xD . Grazie mille.
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Re: Esercizi di topologia

Messaggioda maurer » 25/04/2012, 10:39

Con sostanzialmente la stessa tecnica dimostri il lemma che hai citato.
Una delle conseguenze più utili di quel lemma è il fatto che un compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.

E quindi le mappe da un compatto ad un Hausdorff sono sempre mappe chiuse! Visto che poi quando si inizia ad usare la topologia veramente (in geometria) i tuoi spazi sono sempre di Hausdorff e talvolta sono compatti, questa banalità diventa di un'utilità mostruosa!
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