Teoria dei segnali

Messaggioda luca.barletta » 27/06/2006, 16:39

Dimostrare che vale l'approssimazione:

$e^(j2pihsum_(k)(a_(k)q(t-kT))) ~ sum_(k) (b_(2k)h_0(t-2kT)) +jsum_(k) (b_(2k+1)h_0(t-2kT-T))$

con $h=1/2$, $a_(k) = +-1$, $q(t)$ qualsiasi e $q(t)=1/2$ per $t>=T$, $T$ passo di campionamento, $j=sqrt(-1)$. Determinare inoltre l'espressione dei $b_(k)$ in funzione degli $a_(k)$.

Questo è un problema carino che mostra come una modulazione di fase possa approssimarsi con una modulazione di ampiezza. Vediamo chi ci prova.
Ultima modifica di luca.barletta il 29/06/2006, 17:01, modificato 2 volte in totale.
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Messaggioda CiUkInO » 27/06/2006, 18:21

Carino.

Sinceramente non saprei proprio da dove iniziare, ma sarei molto interessato alla soluzione.
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Messaggioda luca.barletta » 27/06/2006, 18:32

Non posto subito la soluzione, vediamo cosa esce fuori. Se qualcuno la risolve ho già pronto la domanda evoluzione 8-)
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Messaggioda Tipper » 27/06/2006, 19:01

Ha qualcosa a che vedere con il ricevitore di Armstrong?
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Messaggioda luca.barletta » 27/06/2006, 19:03

Può darsi, ma sinceramente non riesco ad associare nessun Armstrong ai ricevitori... puoi colmarmi questa lacuna?
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Messaggioda Tipper » 27/06/2006, 19:49

Il ricevitore di Armstrong riceve in ingresso un segnale modulante $s(t)$ ed opera in questo modo:
la portante $V_0cos(2 \pi f_0t)$ viene mandata ad un nodo sommatore e ad un nodo moltiplicatore sfasata di 90°.
Al nodo moltiplicatore viene eseguita la moltiplicazione fra la portante sfasata e $s(t)*k_p$, dove $k_p$ è l'indice di sensitività della modulazione PM.
C'è da dire che il ricevitore di Armstrong funziona con indici di modulazione piccoli, quindi si deve supporre $k_p \<\< 1$.
Il segnale $s(t)*k_p*V_0*sin(2 \pi f_0t)$ in uscita dal nodo moltiplicatore viene mandato al nodo sommatore, e in uscita a tale nodo si ha questo segnale:
$s(t)*k_p*V_0*sin(2 \pi f_0t) + V_0*cos(2 \pi f_0t)$.
Questo segnale si può scrivere come $R(t)*cos(2\pi f_0t + \theta(t)$.
L'inviluppo risulta: $R(t)=V_0*sqrt(1+s^2(t)*k_p^2)$ mentre la fase $\theta(t) = arctg( \frac{V_0*s(t)*k_p}{V_0} )=arctg(k_p*s(t))$.
Per $x \rightarrow 0$ si ha $arctg(x) \approx x$, quindi la fase si può scrivere come: $\theta(t) = k_p * s(t)$.
Guardando l'inviluppo il segnale risulta modulato in ampiezza, guardando la fase invece risulta modulato in fase.
Immagine

Questa è l'unica cosa che mi è venuta in menta che metta in relazione una modulazione AM con un PM.
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Messaggioda luca.barletta » 27/06/2006, 20:06

Però quella è una modulazione analogica. Anche se il concetto di usare 2 portanti in quadratura c'è... ma se noti bene non solo le portanti sono in quadratura ma...
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Messaggioda Tipper » 27/06/2006, 20:20

luca.barletta ha scritto:Però quella è una modulazione analogica. Anche se il concetto di usare 2 portanti in quadratura c'è... ma se noti bene non solo le portanti sono in quadratura ma...

È vero, avevo letto il testo un po' troppo alla svelta...
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Messaggioda Luke1984 » 27/06/2006, 21:05


Dimostrare che vale l'approssimazione:

$e^(j2pihsum_(k)(a_(k)q(t-kT))) ~ sum_(k) (b_(2k)h(t-2kT)) +jsum_(k) (b_(2k+1)h(t-2T-T))$

con $h=1/2$, $a_(k) = +-1$, $q(t)$ qualsiasi, $T$ passo di campionamento, $j=sqrt(-1)$. Determinare inoltre l'espressione dei $b_(k)$ in funzione degli $a_(k)$.




Scusa, forse non ho capito bene la scrittura: $h$ è una costante?
Te lo chiedo perchè nel secondo membro la scrivi come fosse una funzione ($h(t-kT)$)
Inoltre penso che ci sia un errore di battitura nel secondo addendo: manca forse una $k$ moltiplicata per $2T$?
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Messaggioda luca.barletta » 27/06/2006, 21:52

grazie per la segnalazione, ora modifico
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