Segnali passabasso

Messaggioda Kroldar » 25/09/2006, 23:12

In un corso di teoria dei segnali mi fu detto che i segnali passabasso variano lentamente nel tempo, senza una spiegazione precisa (immagino valga anche l'opposto: passaalto => variazione veloce). Ora pensandoci mi chiedo: la variazione di un segnale nel tempo dipende dalla sua derivata prima (o no?), mentre le frequenze (in questo caso basse frequenze) dipendono dalla sua trasformata di Fourier... che nesso c'è tra le due cose? Come si può spiegare in maniera rigorosa e puramente matematica questo fatto?
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Messaggioda lupo grigio » 26/09/2006, 07:30

Per dare una risposta esaudiente è necessario per prima cosa definire in maniera esatta che cosa si intende per 'funzione passa-basso'. Indicando con $A(omega)$ una generica funzione di trasferimento [complessa], essa si può definire 'ideale' se è...

$A(omega) = 1$ per $omega<=omega_0$ , $=0$ per $omega>omega_0$ (1)

Va da sè che una funzione del genere è 'trasparente' per tutte le frequenze fino a $omega_0$ e 'opaca' per tutte le frequenze sopra $omega_0$. In altre parole tutte le componenti di segnale non superiori a $omega_0$ transitano inalterate e questo vale anche per le derivate del segnale stesso...

cordiali saluti

lupo grigio


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An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ultima modifica di lupo grigio il 26/09/2006, 08:29, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda Kroldar » 26/09/2006, 07:59

Nel corso di teoria dei segnali non ci hanno mai parlato di "funzione di trasferimento". Per caso con tale termine intendi la trasformata di Fourier della risposta del sistema all'impulso (a noi l'hanno battezzata col nome di "risposta in frequenza")?
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Messaggioda Camillo » 26/09/2006, 08:21

Sì, esatto la funzione di trasferimento di un sistema è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva del sistema stesso.

Il modulo della funzione di trasferimento è il rapporto tra le ampiezze del segnale in uscita e quello in entrata.
L'argomento della funzione di trasferimento rappresenta invece la differenza di fase tra segnale in uscita e in entrata.
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Messaggioda luca.barletta » 26/09/2006, 08:28

Un segnale che varia "lentamente" nel tempo, ad es una sinusoide a bassa frequenza, ha evidentemente uno spettro centrato nell'origine, infatti prevalgono nel segnale le componenti p.b.
Viceversa, un segnale che varia "velocemente" nel tempo, ad es titoli azionari, hanno prevalentemente componenti ad alta frequenza, si vede subito da quei picchi del segnale (-->derivata grande in modulo --> trasformata della derivata di un segnale...)
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Messaggioda Kroldar » 26/09/2006, 19:07

Ringrazio tutti coloro che hanno risposto. Anche se, ad essere sincero, la cosa non mi è chiara. La mia domanda è sostanzialmente questa: perché una funzione che varia lentamente nel tempo ha frequenze basse e una che varia velocemente ha frequenze alte? La cosa è ovvia per segnali sinusoidali, ma in generale per segnali qualsiasi (magari anche segnali ideali come certe distribuzioni) non la trovo affatto ovvia. Insomma come può la variazione di una funzione influenzare il supporto della trasformata di Fourier della funzione stessa?
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Messaggioda Camillo » 26/09/2006, 20:50

Più un segnale è ripido, nel senso che varia rapidamente nel tempo, più il suo spettro di frequenza sarà ricco di armoniche e quindi il sistema di trasmissione dovrà essere a banda larga perchè il segnale possa "passare" senza distorsioni .
Pensa a due casi estremi :
* una sinusoide il cui spettro è formato da una sola frequenza e quindi il sistema può essere a banda strettissima : basta che lasci passare quella singola frequenza

* un impulso rettangolare ( il massimo della "ripidità ) : il suo spettro è ricchissimo di armoniche , anzi sono infinite.
Il suo spettro è del tipo $ sinx/x $ dove in ascisse hai le frequenze e in ordinate le ampiezze delle singole componenti in frequenza e si estende appunto fino all' $oo$ ; per fortuna le ampiezze sono via via decrescenti per cui è possibile ( nella pratica ) far passare questo segnale attraverso sistemi di trasmissione con distorsione accettabile purchè abbiano una banda passante opportunamente larga .
Il segnale impulso rettangolare "ideale" ha bisogno di un sistema con larghezza di banda infinita per passare senza distorsione.
Se devi trasmettere un segnale a 56kbit/s avrai bisogna di una certa banda nei sistemi di trasmissione ; ma se trasmetti un sistema a 2Mbit/s avrai bisogno di una banda ben più larga ( la cosidetta banda larga appunto) .
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Messaggioda Kroldar » 26/09/2006, 21:10

Camillo ha scritto:Più un segnale è ripido, nel senso che varia rapidamente nel tempo, più il suo spettro di frequenza sarà ricco di armoniche

Perché? Puoi fornirmi la dimostrazione matematica per favore?
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Messaggioda luca.barletta » 27/09/2006, 09:29

Più che una dimostrazione ti porto una giustificazione: prendi un segnale a bassa frequenza, ad es un tono sinusoidale $x(t)=sint$; ora cerchiamo di renderlo più "ripido", ovvero trasliamo il suo spettro a frequenza più alta tramite modulazione:
$y(t)=x(t)*sin(1000t)$. Quest'ultimo segnale, se provi a tracciarlo è molto più ripido del primo, tant'è che il primo è l'inviluppo di $y(t)$; il segnale ora compie 1001 cicli al secondo al posto di 1 ciclo, e poichè la scala temporale non è cambiata, $y(t)$ è per forza di cose più ripido di $x(t)$.
Lo stesso discorso si può estendere a qualsiasi segnale sviluppabile in serie trigonometrica o comunque trasformabile.
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Messaggioda Camillo » 27/09/2006, 09:47

Considera un impulso triangolare, un segnale funzione del tempo descritto analiticamente così :


$s(t) = A(1-t/(delta/2)) $; per $ 0<=t<delta/2$

$=A(1+t/(delta/2)) $ per $ -delta/2 < t <= 0 $
$ =0 $ altrove

E' un impulso triangolare centrato sull'origine , simmetrico , che inizia a $ -delta/2 $ e termina a $delta/2 $ di valore massimo = A; l'area dell'impulso è : $ Q = A*delta/2$

La sua trasformata di Fouirier , cioè il suo spettro di frequenza è dato da :$ S(f) = [sin(pi*f*delta/2)/(pi*f*delta/2)]^2 $.
Ora se riduco il valore di $ delta $ rendo l'impulso triangolare più stretto e quindi più ripido .
Non è difficile vedere ( graficamente ) l'effetto sullo spettro che si alza e si allarga il che vuol dire che lo spettro si estende in frequenza e le singole armoniche assumono valori maggiori .
Uno studio di funzione applicato alla funzione trasformata ti darà conferma di quanto detto.
Non dubito che ci possano essere altri metodi per dimostrare quanto da te richiesto, ma questo è quello che mi è venuto in mente più facilmente.

Per avere una visione fisica oltre che matematica dell'argomento ti consiglio di andare a vedere qui :

http://www.ciram.unibo.it/~barozzi/MI2/ ... pl.3.1.pdf
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