Segnali passabasso

[mysterium]

Dimenticavo un esempio notevole: l'impulso rettangolare, a velocità di commutazione infinita, ha come spettro un sinc, che va a zero a frequenze infinite, ma non abbastanza velocemente da rendere inutile il "privilegio" delle alte frequenze.

Conseguenze ingegneristiche: qualsiasi commutazione in tempo nullo, così desiderabile per implementare i segnali digitali, in particolare i clock, è fisicamente irrealizzabile.
Una soluzione semplice ed immedata sarebbe quella di minimizzare le capacità dei condensatori all'interno del generatore di impulsi, purtroppo indispensabili per disaccoppiare le componenti continue date dalle alimentazioni e/o bypassare le resistenze di polarizzazione, in modo da ottenere costanti tempo più basse possibili, dunque velocità di commutazione molto elevate. Infatti il reciproco della costante tempo di un circuito RC ci dà la pulsazione di taglio: se essa è molto alta, la risposta impulsiva contiene armoniche a frequenza molto alta, che, come abbiamo appena osservato, contribuisono in primis ad alzare la velocità di commutazione, rendendola abbastanza elevata da soddisfare le nostre specifiche progettuali.

Potremmo anche modulare una sinusoide in modo da spostarne lo spettro alle alte frequenze, come ci suggerisce luca.barletta, ma per controllare la durata del clock occorre considerare come fronti di salita o discesa solo quelli relativi a picchi del segnale di ampiezze opportunamente prefissate (ci vorrebbe un bel disegnino...).
Scegliere tali fronti, però, ha evidentemente un costo computazionale o circuitale notevolmente elevato, che allungherebbe i tempi di elaborazione molto di più del buon vecchio trigger di Schmitt.

Telecomunicazionista anche tu? Raccolgo il tuo fantastico invito: sto per aprire il DIPARTIMENTO DI TELECOMUNICAZIONI in un topic nella sezione "Università"... accorrete numerosi!!!

C I A O

[Kroldar]

Più precisamente, ricordiamo da Analisi I che l'integrale improprio suesposto converge se e solo se il modulo della funzione integranda è un infinitesimo, per f che va a infinito, di ordine superiore a 1/f, cioè se lim f^2*X(f)=0 per f che va ad inf, cioè se lo spettro è infinitesimo di ordine superiore a 1/f^2, ordine molto molto alto.

Già, quindi o si prende un segnale a banda rigorosamente limitata oppure un segnale la cui banda è infinitesima all'infinito di ordine superiore a $2$... se non erro la finestra triangolare dovrebbe essere infinitesima di ordine $2$ e difatti la funzione $((sinf)^2)/f$ non è sommabile!

Sull'ultimo post dico onestamente che ci ho capito molto poco... quasi niente. In ogni caso non sono telecomunicazionista, ma studio nel ramo dell'ingegneria informatica (che è sì una stretta parente di ingegneria delle telecomunicazioni) però il primo esame del gruppo di telecomunicazioni che ho fatto, ovvero teoria dei segnali, mi è molto piaciuto e credo che farò di buon grado anche i successivi.

[mysterium]

Non esitono in natura segnali a tempo di commutazione nullo, dunque tutti gli spettri di ampiezza possibili in natura sono infinitesimi di ordine superiore a 1/f^2, ordine piuttosto alto.
Dunque negli spettri di ampiezza "naturali" il passaggio dalla banda passante a quella oscura è molto brusco, data la rapidissima convergenza a zero.
Mentre in tempo sarebbe ideale una drastica discesa de segnale, che purtroppo non si può ottenere, in frequenza sarebbe fantastica una lentissima, dolcissima planata verso lo zero, anche questa impossibile per comuni mortali...

L'ingegnere ha piedi inchiodati per terra, e può permettersi di continuare a sognare, mentre Platone ci dice di non aver mai conosciuto un matematico che sapesse ragionare, come ci ricorda un nostro amico del forum, e non può permettersi di sognare.

... ora vi lascio sul serio... 'notte...

[mysterium]

okkio, kroldar!

i vertici del triangolo sono punti di non derivabilità, non a derivata infinita!
cmq possiamo intendere tali punti come "salti" di pendenza, dalla derivata sinistra alla derivata destra e, comunque, nessun punto ha derivata infinita, neanche solo destra o sinistra, come puoi osservare facilmente osservare dal grafico.

Dirai: ma l'integrale di f^2*sinc^2(f)=sin^2(f) diverge!
Certo, ma la disuguaglianza che ti ho proposto ti dà un qualsiasi MAGGIORANTE delle pendenze, non è detto che sia un MASSIMO, cioè il segno di uguaglianza potrebbe non essere verificato, come in questo caso.

In altri termini, la divergenza dell'integrale è condizione NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE perchè il segnale ammetta punti a pendenza infinita.

A questo punto, ci sorge spontaneo chiederci, fissato un istante t, sotto quali condizioni il segno di uguaglianza è verificato.

Ricordiamo che il modulo dell'integrale è uguale all'integrale del modulo se e solo se la funzione integranda è reale non negativa:

abs(dx/dt)=abs(int(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)*df)=int(abs(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft))*df)=int(abs(2*pi*f*X(f))*df)

se e solo se (j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)) è reale non negativa per ogni f, cioè se la fasedi tale quantità è identicamente nulla o multipla intera di 2pi; ricordando che la fase del prodotto è la somma delle fasi:

pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f positiva
-pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f negativa
arbitraria per f nulla

e con k intero qualunque, cioè se lo spettro di fase del segnale è, a meno di multipli interi di 2pi:

arg(X(f))=-2pi*ft-pi/2 per f positivo, -2pi*ft +pi/2 per f positivo, arbitrario per f nulla.

E'evidente che la maggiorazione ci dà la massima pendenza RAGGIUNTA dal segnale se e solo se lo spettro di fase è del tipo suesposto; tale pendenza è raggiunta proprio all'istante t che rappresenta la pendenza dello spettro, composto da due semirette.