okkio, kroldar!
i vertici del triangolo sono punti di non derivabilità, non a derivata infinita!
cmq possiamo intendere tali punti come "salti" di pendenza, dalla derivata sinistra alla derivata destra e, comunque, nessun punto ha derivata infinita, neanche solo destra o sinistra, come puoi osservare facilmente osservare dal grafico.
Dirai: ma l'integrale di f^2*sinc^2(f)=sin^2(f) diverge!
Certo, ma la disuguaglianza che ti ho proposto ti dà un qualsiasi MAGGIORANTE delle pendenze, non è detto che sia un MASSIMO, cioè il segno di uguaglianza potrebbe non essere verificato, come in questo caso.
In altri termini, la divergenza dell'integrale è condizione NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE perchè il segnale ammetta punti a pendenza infinita.
A questo punto, ci sorge spontaneo chiederci, fissato un istante t, sotto quali condizioni il segno di uguaglianza è verificato.
Ricordiamo che il modulo dell'integrale è uguale all'integrale del modulo se e solo se la funzione integranda è reale non negativa:
abs(dx/dt)=abs(int(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)*df)=int(abs(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft))*df)=int(abs(2*pi*f*X(f))*df)
se e solo se (j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)) è reale non negativa per ogni f, cioè se la fasedi tale quantità è identicamente nulla o multipla intera di 2pi; ricordando che la fase del prodotto è la somma delle fasi:
pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f positiva
-pi/2+Arg(X(f))+2pi*ft=2k*pi, per ogni f negativa
arbitraria per f nulla
e con k intero qualunque, cioè se lo spettro di fase del segnale è, a meno di multipli interi di 2pi:
arg(X(f))=-2pi*ft-pi/2 per f positivo, -2pi*ft +pi/2 per f positivo, arbitrario per f nulla.
E'evidente che la maggiorazione ci dà la massima pendenza RAGGIUNTA dal segnale se e solo se lo spettro di fase è del tipo suesposto; tale pendenza è raggiunta proprio all'istante t che rappresenta la pendenza dello spettro, composto da due semirette.