Senza piano conduttore, determinare il campo elettrico, magnetico, il vettore di Poynting incidente, la tensione a vuoto sull'antenna ricevente e la potenza consegnata al carico in condizioni di adattamento (in potenza $(Z_g)=(Z_A)^c $). In quali direzioni il campo elettrico dell'antenna trasmittente si annulla ed è massimo in modulo?
(dove la frequenza f è $f=800MHz$)
La mia soluzione.
Calcoliamo la lunghezza d'onda come il rapporto tra la velocità di fase $u_p$ e la frequenza $f$. Poiché ci troviamo nel vuoto $u_p=c=(3*10^8)m/s$ (rappresenta la velocità della luce:
$lambda=(u_p/f)=(c/f)=((3*10^8)(m/s))/((800*10^6)(1/s))=0.375m$ ($37.5 cm$)
dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Il campo elettrico è rappresentato dalla seguente relazione:
$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)$
($E$ è un vettore e $u_(theta)$ un versore)
$eta=377Omega$ ed è l'impedenza caratteristica del materiale dielettrico nel vuoto, $k=(2*pi)/lambda$ e rappresenta in questo caso il numero d'onda e $h(theta,phi)$ è l'altezza efficace.
Bisogna ricavare $I_0$ (la corrente) e $h(theta,phi)$
Valutiamo il rapporto
$(l_1/lambda)=(0.013m)/(0.375)=0.034$ (è adimensionale questo rapporto)
essendo $(l_1/lambda) < < 1$ è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta:
$h(theta,phi)=(l_1)*sin(theta)*u_(theta)=(0.013m/2)*sin(55°)*u_(theta)=0.0053m*u_(theta)$
Consideriamo il circuito equivalente per l'antenna $T_x$
$(Z_g)=(Z_A^c)$ $=>$ $(Z_g)=Re(Z_A)$ e $Im(Z_A) = 0$
inoltre
$Z_A=R_A+jX_A$ dove $R_A=R_rad+R_(loss)$ -> $Z_A=Z_R$
possiamo non considerare $jX_A$ in quanto rappresenta solo l'energia immagazzinata dall'antenna. Poiché c'è adattamento, la tessione che cade sull'antenna (supposta senza perdita) è metà di quella del generatore ($R_A$ è pari a $R_g$)
Inoltre essendo l'antenna un caso particolare (approssimazione di antenna corta):
$R_A=(pi/6)*eta*(l/lambda)^2=(3.14/6)*377Omega*(0.012m/0.375m)^2=0.202Omega$
dall'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
Dunque ora è possibile calcolare la corrente, il campo elettrico, magnetico e il vettore di Poynting:
Corrente:
$I_0=(V_g)/(2*R_A)=(8V)/(2*0.202Omega)=19.80A$
Campo elettrico:
$E=j*((eta*I_0)/(2*lambda*r))*e^(-jKr)*h(theta,phi)*u_(theta)=j*((377Omega*19.80A)/2*0.375m*3000m)*(e^(-j(180/0.375)*2000))*0.0053m*u_(theta)=j*0.0176V/m$
Campo magnetico:
$h=-(1/eta)*E_0*u_(theta)xu_r=(E_(theta)/eta)*u_(phi)=(j0.0176V/m/377Omega)=4,67*10^-5A/m$
Vettore di Poynting:
$S=|E|^2/2*eta*u_r=sqrt((3.3176^2)(V^2/m^2))=0.015W/m^2$
dalle analisi dimensionali effettuate il risultato è potenzialmente corretto.
Consideriamo ora il circuito equivalente per l'antenna $R_x$ (in ricezione)
(al posto di $Z_A$ ovviamente c'è $Z_L$)
valutiamo il seguente rapporto
$(l_2/lambda)=(0.010m)/(0.375m)=0.027$ (ADIMENSIONALE)
$(l_2/lambda) < < 1$ per cui è possibile utilizzare l'approssimazione di antenna corta
$h_Rx=(l_2/2)*sin(theta')*u_(theta')=(0.01m/2)*sin(-80°)*u_(theta')=-0.0049m*u_(theta')$
dove $theta'=theta+phi=55°+25°=80°$
fatto ciò è possibile ricavare la tensione a vuoto sull'antenna ricevente:
$V_0=-h_Rx*E=-(-0.0049m)*(j*0.0176V/m)=jj8.624*10^-5V$
anche qui per l'analisi dimensionale effettuata il risultato è potenzialmente corretto.
La potenza consegnata al carico $R_x$ (o quella trasmessa da da $T_x$ è
$P_T=(1/2)*R_L*|I|^2=39.60Watt$
Ora vorrei sapere se tutto ciò che ho fatto e i ragionamenti sono decenti e corretti.
Inoltre per l'ultimo punto come mi consigliate di procedere?
GRAZIE.
sul quaderno sta fatto bene...fortunatamente...per evitare questi errori cerco di fare sempre l'analisi dimensionale...(sperando di non sbagliare)