2 esercizi di elettrotecnica

[Ene@]

[Tipper]

Provo a risolverti il secondo nel dominio del tempo (premetto che con quel valore di $\alpha$ non mi torna nulla, ma provo a farti vedere il procedimento che avrei usato io): per $t=0^{-}$ il circuito è a regime, dato che il generatore di corrente lavora in continua il condensatore può essere sostituito con un circuito aperto, mentre l'induttore con un cortocircuito.
La differenza di potenziale ai capi di $R_1$ è nulla, pertanto questa resistenza non è attraversata da corrente, e il cortocircuito rappresentante l'induttore è attraversato da una corrente di $3A$.
Tramite la legge di Kirchhoff al nodo si può scrivere: $3 + \alpha i_{c c}(t) = i_{c c}(t)$, quindi $i_{c c}(t) = \frac{3}{1-\alpha}$, quindi la differenza di potenziale ai capi della resistenza $R_3$, che poi è anche la tensione ai capi del condensatore per $t=0^{-}$, vale $\frac{3}{\alpha-1} R_3 = \frac{30}{\alpha-1}$ (è un po' un abuso di notazione, sia chiaro però che tutto ciò si misura in volt).
Dato che la rete non è degenere le variabili di stato sono continue, quindi $i_L(0^{-})=i_L(0^{+})=3A$, mentre $v_C(0^{-}) = v_C(0^{+}) = \frac{30}{\alpha-1}$, queste sono rispettivamente le condizioni iniziali per condensatore e induttore.
Dato che $i_{c c}(t)$ è stato trovato, il generatore dipendente di corrente, per $t>0$, può essere considerato come un generatore ideale indipendente di corrente del valore $\frac{3 \alpha}{1-\alpha}$.
A $t=0$ l'interruttore si apre e si ha un circuito $LC$ del secondo ordine, per prima cosa si deve decidere se è un circuito di tipo serie o di tipo parallelo. Disattivando i generatori di corrente si vede che la resistenza $R_3$ è ininfluente, e che gli elementi reattivi vanno in serie, pertanto questo è un circuito $LC$ del secondo ordine di tipo serie con resistenza serie pari a $R_s = R_1 + R_2 = 5 \Omega$.
La pulsazione di risonanza vale $\frac{1}{\sqrt{LC}} = \sqrt{6} \frac{"rad"}{"sec"}$, mentre il fattore di smorzamento vale $\alpha_s = \frac{R_s}{2L} = 2.5 \frac{"rad"}{"sec"}$.
Dato che il fattore di smorzamento è maggiore della pulsazione naturale allora il circuito è sottosmorzato, e la tensione ai capi del condensatore si scrive come:
$v_C(t) = Ae^{\alpha_s t}\cos(\beta t) + B e^{\alpha_s t}\sin(\beta t) + v_{"regime"}(t)$
dove $v_{"regime"}(t)$ è la tensione ai capi del condensatore per $t>0$ quando il circuito è a regime.
$\beta$ è la pulsazione naturale, e vale $\sqrt{\alpha_s^2 - \omega_0^2}$, dove $\omega_0$ è la pulsazione di risonanza.
$A$ e $B$ sono due costanti da determinare, e si determinano tenendo conto delle condizioni iniziali.
Dato che $v_C(0^{+}) = \frac{30}{\alpha-1}$, si calcola l'equazione $v_C(t) = Ae^{\alpha_s t}\cos(\beta t) + B e^{\alpha_s t}\sin(\beta t)$ (che rappresenta la risposta libera) in $t=0$ e si uguaglia a $\frac{30}{\alpha-1}$.
La corrente che attraversa il condensatore per $t=0^{+}$, vale $i_L(0^{+}) + \frac{3\alpha}{1-\alpha}$, quindi prendendo la solita equazione $v_C(t) = Ae^{\alpha_s t}\cos(\beta t) + B e^{\alpha_s t}\sin(\beta t)$, derivandola e moltiplicandola per $C$ si ottiene la corrente passante dal condensatore, quindi basta calcolarla in $t=0$ e uguagliarla a $i_L(0^{+}) + \frac{3\alpha}{1-\alpha}$.
Con queste due condizioni si trovano $A$ e $B$.
Per trovare la $v_{"regime"}(t)$ basta considerare, nel circuito per $t>0$, il condensatore come un circuito aperto e l'induttore come un cortocircuito, e calcolare la tensione ai capi del condensatore, e si trova facilmente che $v_{"regime"}(t) = 15V$.

[Ene@]

Provo a risolverti il secondo nel dominio del tempo (premetto che con quel valore di $\alpha$ non mi torna nulla, ma provo a farti vedere il procedimento che avrei usato io): per $t=0^{-}$ il circuito è a regime, dato che il generatore di corrente lavora in continua il condensatore può essere sostituito con un circuito aperto, mentre l'induttore con un cortocircuito.
La differenza di potenziale ai capi di $R_1$ è nulla, pertanto questa resistenza non è attraversata da corrente, e il cortocircuito rappresentante l'induttore è attraversato da una corrente di $3A$.
Tramite la legge di Kirchhoff al nodo si può scrivere: $3 + \alpha i_{c c}(t) = i_{c c}(t)$, quindi $i_{c c}(t) = \frac{3}{1-\alpha}$, quindi la differenza di potenziale ai capi della resistenza $R_3$, che poi è anche la tensione ai capi del condensatore per $t=0^{-}$, vale $\frac{3}{\alpha-1} R_3 = \frac{30}{\alpha-1}$ (è un po' un abuso di notazione, sia chiaro però che tutto ciò si misura in volt).
Dato che la rete non è degenere le variabili di stato sono continue, quindi $i_L(0^{-})=i_L(0^{+})=3A$, mentre $v_C(0^{-}) = v_C(0^{+}) = \frac{30}{\alpha-1}$, queste sono rispettivamente le condizioni iniziali per condensatore e induttore.
Dato che $i_{c c}(t)$ è stato trovato, il generatore dipendente di corrente, per $t>0$, può essere considerato come un generatore ideale indipendente di corrente del valore $\frac{3 \alpha}{1-\alpha}$.
A $t=0$ l'interruttore si apre e si ha un circuito $LC$ del secondo ordine, per prima cosa si deve decidere se è un circuito di tipo serie o di tipo parallelo. Disattivando i generatori di corrente si vede che la resistenza $R_3$ è ininfluente, e che gli elementi reattivi vanno in serie, pertanto questo è un circuito $LC$ del secondo ordine di tipo serie con resistenza serie pari a $R_s = R_1 + R_2 = 5 \Omega$.
La pulsazione di risonanza vale $\frac{1}{\sqrt{LC}} = \sqrt{6} \frac{"rad"}{"sec"}$, mentre il fattore di smorzamento vale $\alpha_s = \frac{R_s}{2L} = 2.5 \frac{"rad"}{"sec"}$.
Dato che il fattore di smorzamento è maggiore della pulsazione naturale allora il circuito è sottosmorzato, e la tensione ai capi del condensatore si scrive come:
$v_C(t) = Ae^{\alpha_s t}\cos(\beta t) + B e^{\alpha_s t}\sin(\beta t) + v_{"regime"}(t)$
dove $v_{"regime"}(t)$ è la tensione ai capi del condensatore per $t>0$ quando il circuito è a regime.
$\beta$ è la pulsazione naturale, e vale $\sqrt{\alpha_s^2 - \omega_0^2}$, dove $\omega_0$ è la pulsazione di risonanza.
$A$ e $B$ sono due costanti da determinare, e si determinano tenendo conto delle condizioni iniziali.
Dato che $v_C(0^{+}) = \frac{30}{\alpha-1}$, si calcola l'equazione $v_C(t) = Ae^{\alpha_s t}\cos(\beta t) + B e^{\alpha_s t}\sin(\beta t)$ (che rappresenta la risposta libera) in $t=0$ e si uguaglia a $\frac{30}{\alpha-1}$.
La corrente che attraversa il condensatore per $t=0^{+}$, vale $i_L(0^{+}) + \frac{3\alpha}{1-\alpha}$, quindi prendendo la solita equazione $v_C(t) = Ae^{\alpha_s t}\cos(\beta t) + B e^{\alpha_s t}\sin(\beta t)$, derivandola e moltiplicandola per $C$ si ottiene la corrente passante dal condensatore, quindi basta calcolarla in $t=0$ e uguagliarla a $i_L(0^{+}) + \frac{3\alpha}{1-\alpha}$.
Con queste due condizioni si trovano $A$ e $B$.
Per trovare la $v_{"regime"}(t)$ basta considerare, nel circuito per $t>0$, il condensatore come un circuito aperto e l'induttore come un cortocircuito, e calcolare la tensione ai capi del condensatore, e si trova facilmente che $v_{"regime"}(t) = 15V$.

Grazie infinite

[PL]

il primo dovrebbe essere abbastanza standard... prima di tutto ti conviene trasformare i due induttori in mutua nel circuito equivalente a tre induttori, visto che hanno un capo a comune... poi applichi il teorema di Thevenin ai capi della resistenza. Per avere il massimo trasferimento di potenza, sarebbe necessaria un'impedenza pari al coniugato dell'impedenza di Thevenin.