Un dubbio sul prodotto di convoluzione

[Tipper]

Sarà sicuramente un dubbio banale, ma sarei contento se qualcuno me lo togliesse: al corso di Fondamenti di Automatica, dove si usa principalmente (per non dire esclusivamente) la trasformata di Laplace per trattare i sistemi LTI, mi è stato presentato il prodotto di convoluzione come $\int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$, mentre a corsi come Teoria dei Segnali o Comunicazione Elettriche, dove si usa la trasformata di Fourier, mi è stato presentato come $\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$, come mai? Cosa cambia in queste due definizioni?

[itpareid]

non mi pare che il primo integrale corrisponda alla definizione del prodotto di convoluzione mentre il secondo sì

[luca.barletta]

non dovrebbe cambiare nulla se tieni conto che $f(t)=a(t)u(t)$ e $g(t)=b(t)u(t)$, dove $u(t)={(1,t>0),(0,t<0):}$

[Tipper]

Per il termine inferiore dell'intagrale ok, mi spiegheresti come mai non cambia nulla anche se da una parte c'è $t$ e dall'altra $+\infty$?

[luca.barletta]

perchè $g(t-tau)=0$ per $tau>t$

[Tipper]

Ho capito, grazie mille. Ormai ci ho preso gusto, e chiedo un'altra cosa simile a questa Alcune volte mi è stato detto che dato un numero $\alpha$, il corrispettivo in db si trova calcolando $20 \log_{10}(\alpha)$, come ad esempio si fa nei diagrammi di Bode, altre volte mi è stato detto di calcolare $10\log_{10}(\alpha)$, come ad esempio accade se si vuole trovare la potenza di un segnale in dbW, partendo da quella in W. Come mai questi due modi diversi?

[luca.barletta]

la famosa frase "per trovare $alpha$ in dB si fa $20Logalpha$" è un abuso di linguaggio. Per definizione:
$alpha_(dB)=10Logalpha$.

Il fattore 20, che poi è un fattore 2 che moltiplica 10, nasce dal fatto che si considerano delle quantità proporzionali alle potenze $P=alpha^2$:
$10Log(alpha^2)=20Logalpha$

[Tipper]

Ho capito, ma allora potresti dirmi sono le quantità che, usate per tracciare i diagrammi di Bode, ad esempio, sono proporzionali a potenze e perché?

[luca.barletta]

Beh, di solito si tracciano diagrammi di Bode di densità spettrali di potenza oppure di quantità in $|.|^2$

[Tipper]

Ho capito, mi hai tolto un dubbio (anzi due ), grazie mille.