[fisica tecnica] problema aria umida

[antol1995]

buonasera vorrei avere conferma della correttezza del ragionamento seguito in questo esercizio di cui non mi hanno fornito i valori delle soluzioni.
in un contenitore dalle pareti rigide adiabatiche con volume totale $V=1m^3$ abbiamo inizialmente aria con umidità relativa $phi_1=30%$ alla pressione totale $P_(1)=1$ separata da un setto rigido da una massa di acqua liquida $m_(acq)=1kg$ ambedue alla temperatura di $t_1=30°C$.
una volta rimosso il setto il cui volume consideriamo trascurabile, aria e acqua sono poste in contatto.calcolare la temperatura e la pressione totale finaleche avremo all' interno.
calcolare poi la variaione di entropia.
considerare l' aria e il vapor d' acqua dei gas perfetti.

senza problemi sono riuscito a calcolare i valori iniziali del titolo $x_1$ della massa di aria secca $m_(as_1)$ e massa di vapore $m_(vap_1)$ presenti prima dell apertura del setto.
in seguito all apertura del setto ho effettuato il bilancio delle masse.
$m_(as_1)=m_(as_2)$
$m_(vap_1)+m_(acqevap)=m_(vap_2)$
ho inoltre ipotizzato che la temperatura finale del contenitore sia uguale a quella iniziale(essendo acqua e aria umida alla stessa temperatura.
$t_1=t_2$ (prima richiesta del problema trovata)
sapendo che l' umidità relativa $phi_2=100%$ in quanto il processo si ferma in condizioni di saturazione ho che $p_(vap_2)=p_v(t_2)$
dove $ p_v(t_2)$ è la pressione di saturazione del vapore alla temperatura $t_2$
calcolo quindi il titolo $x_2$
$ x_2=p_(vap_2)/(p_(ariaumida_2)-p_(vap_2) $
dove
$p_(ariaumida_2)= p_(as)+p_(vap_2)$
ho quindi trovato le due prime richieste del problema ($t_2$ e $p_(ariaumida_2)$)
combinando le equazioni precedenti con quella del bilancio energetico
$ 0=m_(vap_1)h_(vap_1)+m_(acqevap)h_(acq)-m_(vap_2)h_(vap_2) $
e sapendo che
$ m_(vap_2)=x_2m_(as )$
sono in grado di calcolare $ m_(acquaevap)$
calcolo adesso la vaziazione di entropia
$ S_2-S_1=m_(vap_1)c_(p_(vap))ln(t_2/t_1)-Rln(p_(2_(vap))/p_(1_(vap)))+m_(acquaevap)s_(h_2o) $
nella quale $t_2=t_1$ e $s_(h_2o)$ è il valore dell' entropia per unità di massa di acqua che evapora (valore ottenibile dalle tabelle).

[Vulplasir]

Non mi convince tanto il fatto che la temperatura rimanga invariata

[antol1995]

in teoria l' avevo quasi dato per scontato.. perchè essendo acqua e aria umida alla stessa temperatura non vedevo come mai la temperatura dovesse cambiare..
se l' acqua aveva una temperatura maggiore avrei ottenuto insieme all' aumento del titolo anche un aumento di temperatura..
se l' acqua aveva una temperatura minore avrei ottenuto insieme all' aumento del titolo una diminuzione di temperatura..
ma essendo uguali secondo me la temperatura risultava inalterata.

[Vulplasir]

Dal primo principio si ha che $DeltaU=0$, pertanto $U_1=U_2$, detta $m_(v1)$ la massa di vapore iniziale e $m_(v2)$ la massa di vapore evaporata, $m_l$ la massa di acqua liquida iniziale e $m_a$ la massa d'aria, si ha:

$U_1=m_l*u_(l1)+m_(v1)u_(v1)+m_au_(a1)$

$U_2=(m_l-m_(v2))u_(l2)+(m_(v1)+m_(v2))u_(v2)+m_au_(a2)$

Quindi, ponendo lo zero dell'energia interna a $t=0$ si ha $u_l=c_pt$, $u_a=c_vt$ e $u_v=lamda-P_(sat 0)Deltav+c_vt$, essendo $lamda$ il calore latente a $t=0$ (ricavabile da tabelle), $P_(sat0)$ la pressione del vapor saturo a $t=0$ e $Deltav$ la variazione di volume specifico dell'acqua da liquida a vapore a $t=0$ (ricavabile sempre da tabella)

Risolvendo $U_1=U_2$ si trova la temperatura finale

[Vulplasir]

Comunque, anche il bilancio di entropia mi sembra errato

[Vulplasir]

La temperatura può variare perché c'è una transizione di fase (infatti parte dell'acqua evapora), e quindi parte dell'energia dell'acqua viene impiegata per fare la transizione

[antol1995]

intanto grazie per le risposte.
ho provato a riguardare il mio svolgimento dell esercizio e per prima cosa ho notato che nel bilancio energetico ho utilizzato la formula dei volumi di controllo..è sbagliata usarla in questo caso?

nel tuo svolgimento invece non capisco alcune cose:
1)quando scrivi $u_l=c_pt$ lo puoi fare in quanto $c_p $ e $c_v$ in un liquido incomprimibile sono uguali giusto?
2)nel caso dell' aria secca utilizzi invece il calore specifico a volume costante giusto?
3)infine non ho capito il modo in cui hai ricavato l' energia interna specifica del vapore

[Vulplasir]

Non è un volume di controllo perché non c'è massa che entra o esce, ciò che non varia è l'energia interna, non l'entalpia.
1) Si, c_p e c_v nel caso dell'acqua coincidono
2) Si
3) da definizione $u=q-l$, supponiamo di avere dell'acqua a 0 gradi che passa da liquida a vapore a pressione P (la pressione di saturazione del vapore a 0 gradi), risulta che il calore assorbito è pari a $q=lamda$, ossia al calore latente,inoltre il lavoro $l$ è $l=intPdv$, essendo però P=cost si ha $l=PDeltav$, con $Deltav$ la variazione di volume specifico passando da liquido a vapore. Quindi una volta evaporato, il vapore si riscalda fino alla temperatura t e aumenta l'energia interna di $c_vt$, quindi la variazione di energia interna totale, da stato liquido fino a vapore a temperatura t è $lamda-PDeltav+c_vt$.

La quantità $lamda-PDeltav$ è detta "energia interna differenziale" ed è la variazione di energia interna che si ha dopo una transizione di fase, riportata anche questa nelle tabelle del vapor saturo

[antol1995]

due ultimi dubbi:
1) porre l energia interna uguale a 0 a zero gradi centigradi e calcolare $u(t)=c_vt$ può essere fatto per qualsiasi temperatura oppure solo per temperaure prossime allo 0°C? (io pensavo che per intervalli abbastanza ampi ci fosse il problema di non poter approssimare ad un valore costante il calore specifico).
2) dopo che hai posto a 0 l energia interna per $t=0°C$, hai calcolato l energia interna del vapore ad una generica temperatura $t$ come se il passaggio da liquido a vapore avvenisse alla temperatura di $t=0°C$ (mentre nell esercizio essa avviene ad una temperatura di $t=30°C$)
il valore di "energia interna differenziale" corrisponde quindi all' energia interna del vapore in condizioni di saturazione alla temperatura di $0°C$?
tale valore è sempre calolato in corrispondenza dello 0 dell energia interna? (anche se la reale transizione da liquido a vapore avviene ad un altra temperatura?

questa era la tabella che mi forniva l esercizio:
l energia interna differenziale è quindi $u_v=2375.3kJ/(kg)$? (calcolata a $t=0°C$)
il calore specifico $c_v$ deve essere calcolato a $t=0°C$?

[Vulplasir]

1) Ovviamente nella realtà il $c_p$ e il $c_v$ variano con la temperatura, ma chiaramente qui si considerano costanti, in questo caso per l'acqua si prende il c_p medio tra 0 e 30 gradi (i valori "veri" di energia interna sono quelli riportati in tabella e calcolati sperimentalmente, ma ovviamente considerando c_p costante per l'acqua si ottengono praticamente gli stessi valori, per intervalli di temperatura non troppi ampi ovviamente).

2)Non ha importanza la temperatura effettiva a cui avviene il passaggio, l'energia interna è una funzione di stato di cui si può calcolare solo la variazione, in qualunque modo il vapore arrivi a 30 gradi, la sua energia interna sarà la stessa, la cosa più semplice ovviamente è far evaporere a t=0 e riscaldare, quindi prendere 'energia interna differenziale a t=0, ma ovviamente l'energia interna differenziale varia con la temperatura, a ogni temperatura c'è una precisa energia interna differenziale data da $lamda-PDeltav$ calcolati a quella temperatura.

Si, l'energia interna differenziale a t=0 è pari a $u_v$ (nelle altre temperature è pari a $u_v-u_l$), e il calore latente a t=0 è pari $h_v$ (nelle altre temperature è $h_v-h_l$) e ovviamente la variazione di volume specifico sarà $v_v-v_l$