[Scienza delle Costruzioni] equazioni linearizzate di vincoli e jacobiano

[al3xg]

Gli stati di un sistema possono essere descritti da n-ple del tipo:

Si=(x1,x2,...xn) (coordinate generalizzate)

il sistema ha quindi infinito^n gradi di libertà.

Per evitare situazioni singolari quando si introducono dei vincoli equazionali si vuole che i vincoli abbiamo molteplicità 1
ciascuno (cioè che ogni vincolo tolga 1 ed 1 solo grado di libertà al sistema) tipo:

G(x1...xn)=0 dove una qualsiasi xi è legata alle altre n-1 da un legame funzionale (al più implicitamente implicato da G )

solo così scelte ad arbitrio n-1 variabili generalizzate ne resta una fissata e quindi viene perso il grado di libertà.


E' sempre possibile scrivere G(x1,x21...xn)=0 se una (o più) variabili sono funzionalmente dipendenti dalle altre.

Per fissare le idee supponiamo di avere:

x1=f1(x1,x3...xn) -> G(x1,x2....xn)=0 se G() la forma x1-f1=0;



Localmente (dove si suppone valga la bontà dell'approssimazione al I ordine dato che G è differenziabile e ha derivate parziali continue,
insomma è LISCIA) il requisito di dipendenza funzionale IMPLICA quello di dipendenza lineare:
giusto?

Quindi possiamo dire che: G(x1...xn) è un vincolo a molteplicità 1 se effettivamente fa perdere un grado di libertà al sistema iniziale S
e cioè se l'equazione che rappresenta ha componenti LINEARMENTE DIPENDENTI cioè esprimibili le une attraverso le altre a mezzo
di combinazioni lineari con coeff.ti non tutti nulli (è escluso cioè il caso banale, cioè G() non sarebbe la funzione
identicamente nulla in generale ma lo diviene, per qualsiasi n-pla scelta del dominio, proprio in virtù
della dipendenza funzionale tra x1 e le altre n-1 variabili).


Se si avessero k vincoli ciascuno di molteplicità 1, e quindi volessimo arrivare a togliere
k gradi di libertà al sistema, allora i vincoli dovrebbero sì essere LINEARMENTE INDIPENDENTI
affinchè ciascuno contribuisca a detrarre un grado di libertà non implicito in altri vincoli,
ma le singole equazioni vincolari dovrebbero essere lineramente dipendenti, come la G() sopra,

Ma se le singole righe hanno questa caratteristica, come fa la matrice che ne raccoglie i coeff.ti delle
c.l. (la jacobiana che approssima la dipendenza funzionale locale al I oridne) ad avere rango non nullo?


Infine: se G(x1...xn)=0 avesse più variabili tra loro funzionalmente (e quindi localmente linearmente) DIPENDENTI,
diciamo k, e quindi da sola togliesse k gradi di libertà al sistema (essendo queste k variabili fissate per sempre una volta
scelte le altre n-k) come si rifletterebbe la cosa sul gradiente della f.ne implicita dovuta a G()?
Avremmo k gradienti nulli, giusti?


In pratica sembra che:
anche se i vincoli tolgono pià gradi di libertà (e singolarmente quindi sono l.d. a livello
di singola equazione) basta che se presi tutti assieme tolgano gradi di libertà diversi (siano
tra loro lin. indip.) e va bene.

Ma allora dove va a finire la richiesta dei vincoli con molteplicità 1 per ciascuno?
Come è catturata questa molteplicità dallo jacobiano?


Scusate la lungaggine e grazie!

Ciao!