[Metodi matematici] Trasformata di Laplace

Messaggioda Ballerina96 » 20/06/2017, 16:46

Buon pomeriggio a tutti, vorrei confrontarmi con voi sullo svolgimento di un esercizio su Laplace. Grazie in anticipo a chi risponderà :D
Dunque, si chiede di stabilire se le seguenti funzioni sono trasformate unilatere di Laplace di un segnale ed eventualmente di cercarlo
$ X(s)=(e^(-s))/(s^2+s+2) $
$ X(s)=1/s sen s $
L'antitrasformata del primo è la seguente:
$ L^(-1)[(e^(-s))/(s^2+s+2)]= L^(-1)[1/(s^2+s+2)](t-1) $
Faccio il completamento del quadrato
$ s^2+s+2=s^2+s+2-7/4+7/4=s^2+s+1/4+7/4=(s+1/2)^2+7/4 $
quindi
$ L^(-1)[1/((s+1/2)^2+7/4)](t-1)=2/sqrt(7)sen[sqrt(7)/2*(t-1/2)] $
Il secondo, invece, non è antitrasformabile.
Ora, il mio "problema" sta nel capire come si stabilisce se le funzioni sono delle trasformate o no. Azzardo una mia ipotesi:
io so che una funzione X(s) è L-trasformata di un segnale se X(s) è analitica nel semipiano $ sigma=Re(s)> sigma_0 $ .
Nel primo caso avremo che X(s) è derivabile in tutti i punti tranne dove si annulla il denominatore, quindi la funzione è analitica per $ Re(s)> -1/2 $ , perchè le radici del denominatore sono $ s=(-1+- sqrt(7)j)/2 $ .
Nel secondo caso, invece, X(s) non è analitica perchè si annulla per $ kpi $ e quindi non è possibile individuare un semipiano (?)
... E ora, a voi la parola!
Ballerina96
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Re: [Metodi matematici] Trasformata di Laplace

Messaggioda D4lF4zZI0 » 21/06/2017, 13:28

In realtà, esiste un teorema fondamentale della trasformata di Laplace che afferma che $F(s)$ è la trasformata di Laplace di una funzione $y(t)$ se:
$ lim_(s -> +oo)F(s)=0 $
Applicando tale teorema ai due casi in esame si ha:
$1)$
$ lim_(s -> +oo)e^(-s)/(s^2+s+2) = 0 $
e, dunque, esiste una funzione $f(t)$ corrispondente;
$2)$
$ lim_(s -> +oo)sin(s)/s = lim_(s -> 0)sin(1/s)/(1/s) = 1 $
e, dunque, non esiste alcuna $f(t)$ corrispondente
D4lF4zZI0
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Re: [Metodi matematici] Trasformata di Laplace

Messaggioda Ballerina96 » 21/06/2017, 16:55

Grazie mille :)
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