[OT] Calcolo momento flettente (Scienza delle Costruzioni)

[kepler]

Salve a tutti, spero che qualcuno possa aiutarmi! Devo calcolare il momento flettente su di una semplice trave (è una parte di un esercizio più grande che devo svolgere) e mi sono bloccato perché come vedete dall'immagine:





Sulla trave grava sia un carico distribuito di 20 kg/m, sia una forza di 10 kg a 50 cm dalla cerniera di sinistra.
Dalla teoria so che il taglio è pari all'integrale del carico distribuito (col segno cambiato), e che il momento flettente a sua volta è l'integrale del taglio. Se ci fosse stato solo il carico distribuito avrei disegnato una parabola, rivolta verso il basso, che si annulla nelle due cerniere; con la forza così "ad occhio" potrei supporre che questa parabola dovrebbe essere "spostata" verso sinistra ed avere una cuspide nel punto in cui è applicata una forza, perché in quel punto il taglio ha un "salto", ma non ne sono sicuro! E poi che forma avrebbe l'espressione del momento (e del taglio)?

Se qualcuno ha un po' di pazienza, potrebbe scrivermi i conti che dovrei fare?

P.S. Dimenticavo... Siccome non si sa mai, potreste confermarmi che le reazioni nelle due cerniere sono pari rispettivamente a 28,62kg e 23,38kg?

[Valerio_D]

La cosa più semplice da fare è applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

[UnKnown089]

la trave che hai disegnato avente come due vincoli esterni 2 cerniere è IPERSTATICA 3t-s = l-i l=0 i =1
dove t è il numero delle travi e 3 è il grado di liberta che può avere ogni trave in quanto ci troviamo nel piano
s è il numero di restrizioni che applicano i vincoli in questo caso due cerniere 2 ogni cern. l è il grado di labilità =0 vuol dire che nn se move e i è il grado di indeterminazione.....
qua hai 3 equazioni in 4 incognite .... il problema sarebbe impossibile però per le condizioni di carico è fortunosamente risolvibile...... dovresti controllare il rango della matrice orlata rispetto a quella incompleta per il problema statico....


In questo caso risolviloi così , concentra il carico distribuito Q =q*l = 42 Kg al centro della trave ( in questo caso baricentro del rettangolo di distribuzione) . Ora puoi farlo per sovrapposizione.
Considerando solo la forza F si ha che (chiamo A la prima cerniera quella a sinistra e B l'altra) Ha e Hb = 0 sono le reazioni orizzontali e
Va + Vb = 10
prendendo come polo A per l'equilibrio dei momenti si ha $F*0.5-Vb2.1=0$; $Vb=-2.38Kg$(rivolta verso l 'alto)
mentre per Va dall'equilibrio alla traslazione si ha Va= 7.62Kg(rivolta verso l'alto).

--------------
Ora consideriamo il carico Q.
si ha
Va + Vb =42
prendendo come polo sempre A si ha
$Q*(2.1/2)-Vb*2.1=0$
Vb=21
Va = 21
Entrambe verso l'alto
ora sovrapponiamo
si avrà
VA = 21+7.62=28.62
VB= 21+2.38=23.38
ora il diagramma del momento te lo scrivo analiticamente
PRIMO TRATTO DA A a F!!!!
$M(z) = 28.62*z-qz^2/2$
SECONDO TRATTO DA F A B!!!
lo guardo da destra a sinistra cioè da b a F
$M(z2)= 23.38*z-qz^2/2$
quando il valore è positivo il disegno è verso il basso ( la convenzione è considerare il moemento positivo quello che tende le fibbre inferiori)
se non ti trovi in qualcosa fammi sapere

Come si vede anche dall'equazione il momento ha una forma parabolica, il taglio invece essendo la derivata dell momento l'oridne si abbassa di uno quindi il taglio ha grafico di una retta...

[kepler]

Anzitutto grazie delle risposte!

@ UnKnown089: tralasciamo la parte sul calcolo dei vincoli perché per fortuna per quella non ho dubbi. Mi hai fatto gentilmente notare il problema dell'iperstaticità, concordo con te, ma il prof. si ostina a dire che quando le sollecitazioni sono tutte verticali mettere due cerniere o carniera+carrello è la stessa cosa (non ha tutti i torti); difatti nel calcolo delle reazioni ti puoi tranquillamente evitare di imporre l'equilibrio alla traslazione orizzontale. E vabbé.

Il problema ce l'ho con sto benedetto momento flettente! Non sono sicuro di aver ben capito le tue formule!
Ora ti scrivo quello che cerco di fare io, così magari tu (o qualcun altro) mi puoi correggere. Innanzitutto integro il la funzione carico per ottenere il taglio:

$T(z) = int_0^z -q*dz = -q*z + To$

Poi integro questa funzione per ottenere il momento:

$M(z) = int_0^z (-qz + To)*dz = -z^2/2*q + To*z + Mo$

Ora il problema di determinare le costanti To e Mo. Io impongo che il momento è nullo nei due estremi, quindi imponendo una volta z=0 e una volta z=2.1 nell'espressione del momento si dovrebbe ricavare:

$To = q*2.1/2$ e
$Mo = 0$

Cioè in conclusione:

$M(z) = -z^2/2*q + q*2.1/2$
$T(z) = -q*z + q*2.1/2$

In tutto questo discorso ho completamente tralasciato la singola forza! Dove la dovrei far entrare nella trattazione? Piazzarla negli integrali o sommarla da qualche altra parte?
Non mi spiego quel 28.62*z e quel 23.28*z che compaiono nelle espressioni del momento che hai scritto...

[Valerio_D]

Se vuoi ragionare sulle eq. differenziali della statica va bene però è un procedimento poco pratico soprattutto nel momento in cui ha strutture un attimo più complesse.

Cmq basta che tieni presente il fatto che il carico concentrato per il taglio rappresenta, matematicamente parlando, una discontinuità di prima specie.
Quanto vale il salto? Esattamente il modulo della forza applicata (basta fare l'equilibrio alla traslazione verticale in un intorno del punto di applicazione della forza).

Cmq io all'epoca facevo mi scrivevo le equazioni di equilibrio su un concio di trave generico..... è un procedimento un po' più intuitivo.

Scusa se nn ti scrivo le formule ma faccio abbastanza casino con i programmini del caso.

[Trave]

Considerano la prima come cerniera e la seconda come carrello, le due reazioni verticali valgono 23,38 Kg e 28,62 Kg


Per sovrapposizione degli effetti dividi in due schemi,uno in cui c'è solo il carico concentrato ed uno in cui c'è solo il carico distribuito

Per il distribuito le reazioni valgono tutte e due 21 Kg e quindi facendo partire l'ascissa nella cerniera di sinistra ed applicando la regola del concio una sezione in prossimità del carrello di destra

$T=Q*x-Ya$
$M=-Q*x^2/2+Ya*x$ Ya è la reazione verticale nella cerniera di sinistra......... è una classica trave semplicemente appoggiata con carico uniforme

Sostituisicici i valori numerici e vedi che i momenti si annullano alle estremità come da teoria,i grafici scontati

Prova a fare lo stesso per la trave appoggiata considerando solo il carico concentrato,considerando la stessa ascissa per il calcolo delle Caratteristiche di sollecitazione e poi alla varie ascisse sommi i valori che trovi di T ed M nei due schemi

Hai i valori di T ed M che cerchi e puoi anche graficarli

[UnKnown089]

allora tu non ti trovi con il diagramma perchè quanto tu hai una forza concentrata si ha una discontinuità di 1° specie nel taglio (cioè un salto pari proprio alla forza),
quindi la funzione taglio la devi riscrivere a valle ed a monte quindi scriverai per il primo tratto,
Da A a F.
$T(z) = Va - qz $per A<z<F
$T(z) = Vb - qz $per B<z<F

poi te la integri ed avrai il diagramma del momento nei rispesttivi tratti considerati!!

Cmq il tuo prof secondo me sbaglia è corretto dire la struttura è staticamente determinata per le condizioni di carico a cui è sottoposto, in quanto la isostaticità o la iperstaticità di determina a priori delle forze, la struttura che hai disegnato si classifica nelle IPERSTATICHE però staticamente determinate per le condizioni di carico