[Teoria dei Segnali] Autoconvoluzione

[gargio]

Qualcuno riuscirebbe a darmi qualche dritta su come svolgere questa autoconvoluzione? Grazie mille.

$x(t)=A*e^(-t^2)$
$y(t)=x(t)$

Applicando la definizione di convoluzione come di consueto, si arriva ad avere un prodotto tra $t$ e $tau$ (essendoci il quadrato) e avrei alcune difficoltà nel scegliere che strada usare per continuare

Il risultato del libro è: $(A^2*sqrt(pi))/(sqrt(2))*e^((-t^2)/2)$

[Sinuous]

Una via non troppo complicata è quella di passare attraverso la Trasformata di Fourier, sfruttando la proprietà per cui la convoluzione nel tempo diventa una moltiplicazione in frequenza, cioè:

$ y(t)=x(t)** x(t) $ diventa: $ Y(omega )=X(omega )X(omega )=X(omega )^2 $

Essendo: $ X(omega )=Asqrt(pi )*e^(-(omega ^2)/4) $

$Y(omega)= X(omega )^2=A^2*pi *e^(-(omega ^2)/2) $

Quindi, antitrasformando:

$ y(t)=A^2*sqrt(pi/2) *e^(-(t^2)/2) $

[gargio]

Sì avevo pensato anche a quello, ma nel libro quell'esercizio viene prima del capitolo in cui spiega la trasformata, quindi immagino si debba farlo con la definizione di convoluzione