[Elettrotecnica] Energia immagazzinata risonanza serie LC

[absinth]

Ciao a tutti chiedo per favore una mano a chiarirmi questo dubbio: stavo leggendo degli appunti non miei e non capisco una cosa... In una serie LC in risonanza in regime sinusoidale non capisco perché vale quella formula finale? Perché per esempio non c'è l'energia del condensatore? Ha sbagliato chi l'ha scritta o l'ha fatto apposta?

[RenzoDF]

... Perché per esempio non c'è l'energia del condensatore? Ha sbagliato chi l'ha scritta o l'ha fatto apposta?

Non ha sbagliato, ha solo scritto una delle due possibili forme.
Per non far torto ne al condensatore ne all'induttore avrebbe dovuto scrivere $w_{LC}(t)=(LI_{M}^2)/2=(CV_{CM}^2)/2$; probabilmente ha preferito la prima in quanto coinvolge la grandezza comune ai due bipoli.

[absinth]

Grazie per la risposta. Lo intuivo un po' ma non ero sicuro. Ma qual è la ragione di questo risultato? Forse scrivo una fesseria ma mi viene da pensare: Quindi $w_{LC}(t)=1/2 LI_{eff}^2+1/2 CV_{eff}^2 = CV_{eff}^2$

[absinth]

chiedo per favore a chiunque sappia qualcosa di rispondere perché è veramente importante mi serve capirlo bene anche perché vedo qualcosa di simile nella dimostrazione del teorema di Boucherot

[RenzoDF]

La dimostrazione di quella relazione non può partire dai valori efficaci, deve partire dalle funzioni del tempo, ovvero da

$w_{LC}(t)=\frac{1}{2} Li(t)^2+\frac{1}{2} Cv_C(t)^2=\frac{1}{2} LI_M^2\sin^2(wt)+\frac{1}{2} CV_{CM}^2\sin^2(wt+\frac{\pi}{2} )$

per poi sostituire $V_{CM}^2=I_M^2X_C^2$, usare la relazione che lega L e C alla pulsazione di risonanza e passare per il secondo termine da seno a coseno.

BTW Per i più "curiosi" linko il riferimento storico del teorema di Paul Boucherot: gli atti del
"Congrès international d'électricitè" tenuto a Parigi, dal 18 al 25 agosto del 1900

http://archive.org/stream/congrsinternati00hospgoog#page/n433/mode/2up

Documento che dimostra che anche i Grandi Elettrotecnici possono sbagliare i conti.

[absinth]

Grazie mille per la risposta (mi hai salvato).
Leggendo il riferimento, in sostanza Boucherot ha fatto la stessa cosa cioè passando per il tempo e applicando il teorema di Tellegen (anche se non l'ho visto scritto) ha fatto poi l'integrale per liberarsene dal tempo e dimostrare che la somma è nulla anche per i fasori cioè per le potenze attive e reattive. L'ho capito bene?

[RenzoDF]

Il documento che ti ho linkato consideralo solo un riferimento storico, al giorno d'oggi per dimostrare Boucherot si usa il teorema di Tellegen¹, che ovviamente non hai visto citato nel documento di Boucherot perchè in quei giorni Tellegen aveva solo due mesi.

BTW Hai scovato l'errore?

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Note

1. Vedi per esempio https://www.dii.unipd.it/~alvise.maschio/didattica/corsi/Elettrotecnica_509_99/Integrazioni/Integrazione_2.pdf ↑

[absinth]

Grazie per il link. L'errore sta nel secondo integrale che da $-\phi$ a $-\phi+\frac{\pi}{2}$ dovrebbe venire una funzione in $\phi$ che verrebbe moltiplicata per $\sin\phi$ alla fine... invece non c'è... no ? altrimenti non saprei... in ogni caso vedo che dà per scontato un risultato che invece ha bisogno di essere dimostrato visto che Tellegen dopo l'ha fatto

[absinth]

BTW Hai scovato l'errore?

ti prego rispondimi che non riesco a mettermi via sta curiosità

[RenzoDF]

L'errore è di calcolo numerico.

... in ogni caso vedo che dà per scontato un risultato che invece ha bisogno di essere dimostrato ...

Quale risultato?