Risposta impulsiva e Delta di Dirac

Messaggioda johnmath » 18/09/2017, 21:35

Ciao a tutti,
stavo rivedendo degli appunti di sistemi ingresso-uscita lineari e invarianti rispetto al tempo, da applicare poi alla modellazione afflussi-deflussi in idrologia.
Per analizzare questo tipo di sistemi, si partiva dal "delta di Dirac" e dalla risposta impulsiva fino a giungere alla stesura dell'integrale di convoluzione dal quale si può ottenere l'output da un sistema cui è applicato un ingresso generico e del quale di conosce appunto la funzione di risposta impulsiva.

Immagino che per chi frequenta questo forum la spiegazione sia molto semplice, molto più di quanto non lo è per me, che dagli appunti, ma anche da diverse dispense trovate in rete (tratte da corsi di segnali) non mi convince appieno. Eppure non è nulla di complicato, solo lo trovo spiegato in modo intuitivo e mi farebbe comodo qualche commento, conferma ecc...

\(\displaystyle
\begin{align}
\delta(t) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{if } x \neq 0 \\
+\infty & \mbox{if } t = 0
\end{array}
\right.
\\
\\
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\tau) d\tau = 1
\\
\\
f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\delta(t-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau)\delta(\tau) d\tau
\end{align}
\)

L'ultima se non sbaglio è la proprietà "setaccio" (sifting..).
Anche se non ho capito bene il perchè dell'equivalenza finale, cioè se è una definizione oppure se deriva da qualcosa di dimostrabile (facilmente):
\(\displaystyle
\begin{align}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\delta(t-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau)\delta(\tau) d\tau
\end{align}
\)

Ok, e fin qui sono praticamente definizioni...

Poi considerando il nostro sistema, che ipotizziamo appunto lineare e invariante nel tempo, ne definiamo la "risposta impulsiva" come la risposta che si ottiene a seguito di un ingresso impulsivo, cioè di un ingresso delta di Dirac. E chiamiamo questa funzione di risposta impulsiva:

\(\displaystyle
\begin{align}
u(t)
\end{align}
\).

Confermatemi se ho capito bene:
sollecito il sistema all'istante \(\displaystyle \tau \) con \(\displaystyle \delta(\tau) \) ed ottengo in uscita \(\displaystyle u(t-\tau) \).

A questo punto vi chiederei come si giunge al seguente punto d'arrivo: se sollecito il sistema con un ingresso generico i(t), l'uscita q(t) sarà l'integrale di convoluzione di i e u:

\(\displaystyle
\begin{align}
q(t) = \int_0^t i(\tau) u(t-\tau) d\tau
\end{align}
\).

Come dimostrarlo?
Da quanto ho capito bisogna osservare appunto le proprietà dei sistemi lineari e tempo invarianti. Ma vi chiederei anche una vostra spiegazione per togliermi qualche dubbio.

Grazie mille in anticipo! :D
johnmath
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Re: Risposta impulsiva e Delta di Dirac

Messaggioda johnmath » 20/09/2017, 10:37

Siccome non vedo risposte convincenti :D
provo a mostrare come l'anno spiegato a me grossomodo, sempre che la memoria non m'inganni.

Sappiamo che:

. a sollecitazione \(\displaystyle \delta(\tau) \) corrisponde risposta impulsiva \(\displaystyle u(t-\tau) \) e "l'entità integrale" di \(\displaystyle \delta \) è 1.

. a sollecitazione \(\displaystyle i(t) \) corrisponde la generica risposta in uscita \(\displaystyle q(t) \)

(in teoria dei segnali vedo che usano X e Y, e h per la risposta impulsiva, ma cambia poco. Nel mio caso solitamente con q si indica la portata che defluisce dal bacino idrografico e con i(t) l'intensità di pioggia in ingresso, ovviamente moltiplicata per la superficie del bacino se no non tornano le dimensioni, oppure si divide q per tale superficie).

. vedo la \(\displaystyle i(t) \) come successione di tante funzioni simil-impulsive, e considerandone l'azione all'istante \(\displaystyle \tau \), posso considerare quell'ingresso nell'intorno di \(\displaystyle \tau \) come una funzione impulsiva ma di entità integrale \(\displaystyle i(\tau)d\tau \).
La risposta in uscita a questo ingresso simil-impulsivo sarà uguale a quello in risposta a \(\displaystyle \delta \), cioè \(\displaystyle u(t-\tau) \), ma moltiplicato per l'entità integrale \(\displaystyle i(\tau)d(\tau) \), quindi \(\displaystyle i(\tau)u(t-\tau)dt \)

In pratica si fa la proporzione tra gli integrali di \(\displaystyle \delta \) (cioè 1) e quello dell'impulso \(\displaystyle i(\tau) \) (cioè \(\displaystyle i(\tau)dt \)).
La proporzione si può fare perchè il sistema si considera tempo-invariante e lineare quindi ok sovrapposizione degli effetti e ok invarianza della risposta impulsiva nel tempo (ma siamo sicuri che proprio la proporzione tra gli integrali sia lecita?).


Quello che non ho capito bene è perchè mi baso sulla proporzione tra gli integrali dei due impulsi e non su altro e perchè lo posso fare.
Per esempio perchè non basarsi sull'entità dei due impulsi (tra l'altro ci sarebbe qualche problemino con quella scelta perchè delta vale infinito in \(\displaystyle \tau \), ma tanto per farvi capire il dubbio).
Non è una scelta così scontata per me. Cioè potrei benissimo dire, senza senso dal punto di vista matematico:
- l''impulso \(\displaystyle \delta(\tau) \) porta a \(\displaystyle u(t-\tau) \) e vale \(\displaystyle +\infty \)
- l'impulso \(\displaystyle i(\tau) \) che vale appunto \(\displaystyle i(\tau) \) porterà a \(\displaystyle u(t-\tau) \) moltiplicato per \(\displaystyle \frac{i(\tau)}{+\infty} \)



Il resto della dimostrazione viene da sè... si integra la \(\displaystyle i(\tau)u(t-\tau)dt \) e si ottiene l'integrale di convoluzione.
Se c'è qualcuno in grado di chiarirmi quel punto della proporzionalità basata sul valore degli integrali delle due funzioni impulsive mi farebbe un grande piacere.

Grazie ancora in anticipo! :)
johnmath
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