[Teoria dei sistemi] Dubbio digramma della fase

[Escher]

Buon pomeriggio, ho un dubbio sul seguente esercizio in cui devo disegnare i diagrammi di Bode:
\(\displaystyle F(s) = 40 \frac{s-0.5}{ (s+1)(s+4)} \)

Prima di iniziare porto la \(\displaystyle F(s) \) in forma canonica di Bode:
\(\displaystyle 40 * (-0.5) * \frac{ 1+\frac{s}{-0.5} }{ (1+s)4*(\frac{s}{4}+1)} = -5 \frac{ 1+\frac{s}{-0.5} }{ (1+s)(1+\frac{s}{4})} \)

Il diagramma del modulo mi viene bene, quindi non lo descrivo.

Per quello della fase, ho:

1) Il guadagno è \(\displaystyle -5 \) (mettendo s = 0 nella F(s), trovo appunto -5). E' negativo quindi parto da -180°.

2) Zero --> \(\displaystyle (1+\frac{s}{-0.5}) \) con \(\displaystyle \tau = \frac{1}{-0.5} \) e \(\displaystyle w = \frac{1}{|\tau|} = 0.5 \) dove la decade prima = 0.05 e la decade dopo è = 5. Essendo uno zero con \(\displaystyle \tau < 0 \) scendo a -45°/dec


3) Polo --> \(\displaystyle (1+s) \) con \(\displaystyle \tau = 1 \) e \(\displaystyle w = 1 \) dove la decade prima = 0.1 e la decade dopo è = 10. Essendo un polo con \(\displaystyle \tau > 0 \) scendo a -45°/dec.


4) Polo --> \(\displaystyle (1+\frac{s}{4}) \) con \(\displaystyle \tau = \frac{1}{4} \) e \(\displaystyle w = 4 \) dove la decade prima = 0.4 e la decade dopo è = 40. Essendo un polo con \(\displaystyle \tau > 0 \) scendo a -45°/dec.


Descrivo il grafico della fase:

Parto da -180° (per il -5), continuo in linea retta fino a che incontro 0.05 che mi fa scendere di -45°/dec fino a 0.1 (arrivo a -225°). Da 0.1 scendo di -90°/dec (contributo dello zero e del polo) fino a 0.4 (arrivando quindi a -315°).
Da 0.4 ho tutti e 3 i contributi quindi scendo di -135°/dec fino a 4 (arrivando a -450°). Da 4 ho ancora tutti i contributi quindi scendo ancora di -135°/dec fino a 5 (arrivando a -585°).
Da 5 il contributo dello zero scompare quindi scendo di -90°/dec fino a 10 (arrivando a -675°).
Infine da 10 il contributo del polo scompare quindi scendo di -45°/dec fino a 40 (arrivando a -720°).

A me sembra giusto ma ovviamente non lo è perchè applicando la formula:
\(\displaystyle (\sharp poli - \sharp zeri)(-90) = (2-1)*(-90) = -90° \)
Dovrei arrivare alla fine a -90° non a -720°.

Facendo con Wolfram la prova si vede che parte da +180° ma perchè? Il guadagno è negativo devo partire da -180°.
Arriva a -90° come da formula.

Dove sbaglio? Sapreste spiegarmelo?
Scusate per il post lungo ma spero abbiate la pazienza di leggerlo per indicarmi dove sbaglio.

Grazie delle eventuali risposte.

[Sinuous]

Il diagramma di fase del tuo zero reale positivo: (s-0.5) è riportato di seguito, insieme a quello di modulo:




La fase varia da 180ᵒ a 90ᵒ essendo la funzione complessa relativa: (jω-0.5)
Se provi a combinarlo con quello dei due poli reali successivi otterrai il diagramma di fase corretto.

[Escher]

Grazie della risposta.

La fase varia da 180ᵒ a 90ᵒ essendo la funzione complessa relativa: (jω-0.5)

Non ho capito perchè.
Se fosse solo lo zero (s-0.5), devo comunque portarlo nella forma canonica di Bode -> \(\displaystyle -0.5 (1+\frac{s}{-0.5}) \)
Ed il fattore costante è: \(\displaystyle -0.5 \) che è < 0.

Dalla teoria, la fase del fattore costante:
Il contributo per la fase è nullo se k > 0 (quindi 0°) mentre è pari a -180° se k < 0.

Quindi qui dovrei partire da -180°.

Grazie ancora.

[Sinuous]

Il punto: -0.5 nel piano complesso può essere rappresentato con un numero di modulo 0.5 e fase +180ᵒ oppure -180ᵒ. I due numeri complessi coincidono. Nella rappresentazione della tua funzione potresti quindi considerare la fase inizialmente pari a -180ᵒ se la sua evoluzione fosse in verso antiorario e cioè verso valori meno negativi: ma non è il tuo caso. Prova infatti ad analizzare la funzione: (jω-0.5) dal punto di vista matematico.

Quando ω=0, ha modulo= 0.5 e fase pari a +180ᵒ (coincidente con -180ᵒ).
Quando ω tende a infinito, ha modulo che tende a infinito e fase che tende a +90ᵒ.
La fase è diminuita di 90ᵒ.

Se ripeti il calcolo per i valori intermedi troverai esattamente i diagrammi di modulo e fase riportati nel mio Post precedente.