[Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della torsione, campo di spostamenti

[Faffa]

Salve a tutti all'inizio della torsione viene fatta un ipotesi sul campo di spostamenti che non riesco bene a spiegarmela:





ho provato a vederla così :




Quindi sia $P=(x,y)$, chiamiamo $OP=r$ ossia il raggio del settore circolare di angolo $\phi$ e raggio $OP$ e $OP'$

Sia:
$x=r cos(\alpha)$
$y=r sin(\alpha)$

ricavo PP' ossia:

$PP'=r \phi$

l'ipotesi che ho fatto adesso per cui non sono convinto è questa: poiché l'angolo è infinitesimo P tende a P' quindi OP tende a OP' e quindi il raggio è perpendicolare a PP', detto ciò avrò che $PP'$ forma con $v$ l'angolo $\alpha$

$u=-r\phi sin(\alpha)$
$v=r\phi cos(\alpha)$

sostituisco e giungo alla soluzione del libro:
$u=-\phi y$
$v=\phi x$


e lecita quell'ipotesi che ho fatto ?


Vi ringrazio a priori

[Pazzuzu]

Ti devi solo ricordare che quando $\theta->0$ allora : 1)$tan\theta->\theta$ 2) sei autorizzato a confodere l'arco di cerchio con la corda.

[Faffa]

Si, infatti per $\theta$ infinitesimo ho confuso l'arco PP' con il segmento


Per il resto, è tutto corretto?


Ti ringrazio per la risposta

[Pazzuzu]

Si, ho fatto due conti e mi sembra tutto giusto. In ogni caso, il concetto fondamentale che secondo me è necessario ricordarsi per il futuro, quando si tratta la torsione, è che il campo di spostamenti sia lineare in $r$.

[Faffa]

Ok lo terrò presente !

Grazie mille