Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Vulplasir » 16/10/2017, 23:36

Per quanto riguarda l'altra domanda provo domani, ora è un po' tardi e questo argomento non è di certo semplice.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Faffa » 16/10/2017, 23:49

Perfetto ! A domani :D
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Vulplasir » 17/10/2017, 20:03

Allora...senza complicarsi le cose con questo centro di torsione, le tensioni tangenziali sulla generica sezione, in torsione pura, sono date da:

$sigma_(31)=mutheta((dw)/(dx_1)-x_2)$
$sigma_(32)=mutheta((dw)/(dx_2)+x_1)$

E questo è un risultato "esatto" valido per qualsiasi tipo di sezione, il problema è chiaramente determinare la $w$ di ogni sezione.

Nel caso di sezione circolare, si dimostra che le tensioni tangenziali sono rispettivamente:


$sigma_(31)=-muthetax_2$
$sigma_(31)=muthetax_1$

Confrontando questo risultato "esatto" solo per la sezione circolare, con il risultato esatto per qualsiasi sezione, si deduce che nella sezione circolare deve essere $(dw)/(dx_1)=(dw)/(dx_2)=0$ e quindi $w(x_1,x_2)=cost$

Il campo di spostamenti del cilindro, di qualsiasi sezione, su tutto il cilindro in torsione pura, si può dimostrare che è:

$u_1=-thetax_3x_2$
$u_2=thetax_3x_1$
$u_3=thetaw(x_1,x_2)$

Come si vede, se il momento torcente agisce su un estremo del cilindro, nell'estremo opposto $x_3=0$ non si ha nessuno spostamento della sezione (l'estremo x3=0 è tenuto "fisso", è come incastrato), più ci si avvicina all'estremo in cui è applicato il momento più gli spostamenti u1 e u2 sono maggiori, inoltre si vede che le sezioni si ingobbano, infatti u3 è in genere diverso da zero e pari a questa funzione di ingobbamento. nel caso della sezione circolare, per quanto detto, $w=cost$, quindi le sezioni traslano tutte della stessa quantità, dato che per quanto detto la soluzione del problema è unica a meno di uno spostamento rigido, è normale porre $w=cost=0$, ossia le sezioni circolari non si ingobbano.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Vulplasir » 17/10/2017, 20:08

In questa dispensa è spiegato bene, anche la questione dell'asse di torsione (qui il campo di spostamenti lo da a priori, ma per esempio nel libro che ti ho suggerito lo dimostra con dei passaggi rognosi, definendo la rotazione $theta=(domega_(21))/(dx_3)$ essendo $omega_(21)$ la componente 2-1 del tensore delle piccole rotazioni del cilindro, lo chiama "curvatura torsionale")

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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Faffa » 17/10/2017, 21:18

L'unica cosa che vorrei chiederti, ma non per qualche mancanza in quanto la tua spiegazione è praticamente perfetta !

E' la seguente:
la soluzione del problema è unica a meno di uno spostamento rigido; perché la $w(x,y)$ soluzione del problema di Neumann esiste ed è unica a meno di una costante, quindi andando a sostituire il risultato all'interno degli spostamenti si vede che in $u_3$ la soluzione è unica a meno di uno spostamento rigido...giusto ?

Ora do uno sguardo al link :-)


Un'ultima curiosità :
è complicato dimostrare matematicamente che il problema di Neumann ammette soluzione ed è unica ?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Vulplasir » 17/10/2017, 21:33

Si, w è unica a meno di una costante, ponendo $u3=thetaw+c$, quella c non è altro che una traslazione rigida lungo $x_3$, che per quanto detto, è ininfluente.

è complicato dimostrare matematicamente che il problema di Neumann ammette soluzione ed è unica ?


Ah boh, questa è una questione di analisi matematica, in particolare di equazioni differenziali alle derivate parziali...in tutto ciò che ho studiato di analisi si è sempre preso per vero, probabilmente perché la dimostrazione non è di certo facilissima.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Faffa » 17/10/2017, 21:43

Grazie mille per l'enorme aiuto che mi hai dato :-)
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Secco Jones » 18/10/2017, 22:09

Faffa ha scritto:Quindi c'è un motivo per cui questa funzione ingobbamento w che sopra tramite Neumann abbiamo dimostrato essere funzione di x,y quindi w(x,y) non compare nelle travi con sezione circolare ? cioè perché solo per la sezione circolare si assume nullo lo spostamento w ?


Non so se l' altro utente ti ha già risposto ma per la sezione circolare la funzione di ingobbamento è nulla in quanto qualsiasi asse passante per il centro è un asse di simmetria per la sezione
Niente è impossibile finché riesci ancora ad immaginarlo; questo significa essere uno scienziato illuminato! (Professor Farnsworth)
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda Faffa » 20/10/2017, 14:58

Si, grazie anche a te :)

avevamo già risolto :-)
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Torsione, Neumann significato fisico

Messaggioda dam1991 » 12/09/2018, 12:03

Salve, se si volesse passare dalla teoria alla pratica con un semplice esempio come una trave a sezione retta quadrata: come si deve operare per trovare la funzione ingobbamento?
Posso scrivere l'equilibrio indefinito $\Delta$ $\omega$ = 0 come $\omega=Ax+By+Cx y+D+E(x^2+y^2)$ ?
Osservando la condizione di equilibrio al bordo mi sono fermato al polinomio di grado 2.
Per scrivere l'equilibrio infinitesimo al bordo, spezzo il perimetro del quadrato nei 4 lati.
Lato con punti P t.c. Xp=l/2 e Yp varia tra - l/2 e l/2; l'ingobbamento mi esce $\omega=xy$
Lato con punti Q t.c. Xq varia tra - l/2 e l/2 e Yq=-l/2; l'ingobbamento mi esce $\omega=-xy$
Sicuramente sbaglio perché l'ingobbamento é una funzione unica per l'intera sezione retta, ma non capisco dove.
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