da Vulplasir » 17/10/2017, 20:03
Allora...senza complicarsi le cose con questo centro di torsione, le tensioni tangenziali sulla generica sezione, in torsione pura, sono date da:
$sigma_(31)=mutheta((dw)/(dx_1)-x_2)$
$sigma_(32)=mutheta((dw)/(dx_2)+x_1)$
E questo è un risultato "esatto" valido per qualsiasi tipo di sezione, il problema è chiaramente determinare la $w$ di ogni sezione.
Nel caso di sezione circolare, si dimostra che le tensioni tangenziali sono rispettivamente:
$sigma_(31)=-muthetax_2$
$sigma_(31)=muthetax_1$
Confrontando questo risultato "esatto" solo per la sezione circolare, con il risultato esatto per qualsiasi sezione, si deduce che nella sezione circolare deve essere $(dw)/(dx_1)=(dw)/(dx_2)=0$ e quindi $w(x_1,x_2)=cost$
Il campo di spostamenti del cilindro, di qualsiasi sezione, su tutto il cilindro in torsione pura, si può dimostrare che è:
$u_1=-thetax_3x_2$
$u_2=thetax_3x_1$
$u_3=thetaw(x_1,x_2)$
Come si vede, se il momento torcente agisce su un estremo del cilindro, nell'estremo opposto $x_3=0$ non si ha nessuno spostamento della sezione (l'estremo x3=0 è tenuto "fisso", è come incastrato), più ci si avvicina all'estremo in cui è applicato il momento più gli spostamenti u1 e u2 sono maggiori, inoltre si vede che le sezioni si ingobbano, infatti u3 è in genere diverso da zero e pari a questa funzione di ingobbamento. nel caso della sezione circolare, per quanto detto, $w=cost$, quindi le sezioni traslano tutte della stessa quantità, dato che per quanto detto la soluzione del problema è unica a meno di uno spostamento rigido, è normale porre $w=cost=0$, ossia le sezioni circolari non si ingobbano.