[Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Faffa » 20/10/2017, 20:44

Salve a tutti, mi servirebbe una mano con una delle ipotesi per la formula di Bredt ossia:
riguardo la continuità del flusso di tensioni


Immagine

quella figura si ottiene prendendo un concio del solido di dSV di dimensione dz quindi lo sezioniamo con due piani ortogonali all'asse z, dopo di che andiamo ulteriormente a sezionarlo con due piani paralleli all'asse z, quello che rimane è la porzione di solido in figura

sulle facce laterali agiranno le tensioni reciproche alle tensioni $\tau_{zs}$ che saranno appunto le $\tau_{sz}$ come riportato in figura per l'equilibrio in direzione z vale quell'uguaglianza delle due forze in figura.

Domanda:
1)Quello che non riesco a comprendere è perché lo dimostriamo sulle zone laterali ? cioè in questo modo abbiamo dimostrato che la "portata" delle zone laterali si mantiene costante, cioè non capisco perché la dimostrazione non riguarda direttamente le $\tau_{zs}$ che sono quelle che ci interessano, inoltre $\tau_{sz}=\tau_{zs}$ e quindi non capisco perché la dimostrazione non riguarda direttamente gli altri due lati ossia sopra e sotto
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Faffa » 21/10/2017, 12:52

Penso di aver capito,
consideriamo le tensioni $\tau_{sz}$ perché le sezioni laterali sono rettilinee e non curvilinee, quindi possiamo applicare l'equilibrio alla traslazione lungo z,
mentre sulla faccia di sopra e di sotto la superficie è curvilinea e quindi non potevamo applicare un equilibrio alla traslazione orizzontale;
pertanto dall'equilibrio alla traslazione verticale troviamo :
$t_{sz} (s) * b(s) =$ costante
che per reciprocità possiamo affermare che:
$t_{zs} (s) * b(s) =$ costante
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Vulplasir » 21/10/2017, 13:23

Ma si puó fare anche piu semplicemente, elegantemente, formalmente e correttamente (senza dover sezionare il cilindro come se fosse un cadavere)...considera l'espressione generale delle tensioni tangenziali in torsione pura, prova a fare la divergenza del vettore $tau=(sigma_(31), sigma_(32))$ e vedi cosa ottieni
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Vulplasir » 21/10/2017, 14:14

Anzi, direi che quella dimostrazione è sbagliata...la costanza del flusso vale solo in torsione pura...dov'è che in quella dimostrazione si ricorda che siamo in torsione pura, ossia non ci sono sforzi tangenziali dovuti a taglio?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Faffa » 21/10/2017, 15:48

Stavo pensando alla divergenza della tensione da ieri, ma non riesco a capire come si dimostra tramite la divergenza,
cioè una volta scritto :
$\int \nabla \cdot \tau dV= \int (\partial \tau_{zx})/(\partial x) + (\partial \tau_{zy})/(\partial y) = 0 + 0$

una volta scritto ciò, pensavo di applicare il teorema della divergenza ma è come se nessuna componente dia contributo;essendo ovunque la tensione tangenziale perpendicolare alla normale, ma sicuramente sbaglio qualcosa ! :?

-----------------------------------

Per il taglio ne aveva parlato solo all'inizio della torsione, dicendo che l'integrale si annulla essendo il momento statico uguale a zero, cioè :
$Tx= -G\theta \int_{A} ydA = 0$
detto questo non ne ha più parlato, per il momento.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Vulplasir » 21/10/2017, 16:03

In torsione pura l'espressione delle tensioni tangenziali è:

$sigma_(31)=mutheta((dw)/(dx_1)-x_2)$
$sigma_(32)=mutheta((dw)/(dx_2)+x_1)$

Facendo la divergenza di $tau=(sigma_(31), sigma_(32))$:

$nabla*tau=sigma_(31,1)+sigma_(32,2)=mutheta(w,_(11)+w,_(22))=muthetanabla^2w=0$ dato che $w$ è armonica sulla sezione (ossia il suo laplaciano è nullo).

Quindi se prendi un cilindro con sezione alla Bredt (ossia sottile generata da una curva chiusa"), dal teorema della divergenza si sa che, se la divergenza è nulla, il flusso attraverso una qualunque superficie chiusa è nullo, nel nostro caso, si si prende una sezione compresa tra $s_1$ e $s_2$, dato che attraverso le superfici laterali della sezione NON c'è flusso per le condizioni al contorno del problema di dsv, allora ciò che entra da $s_1$ deve essere uguale a ciò che esce da $s_2$, da cui la tesi.

Per quanto riguarda il taglio non intendevo quello, intendevo che questa proprietà della costanza del flusso vale SOLO in torsione pura, ossia solo quando il cilindro è soggetto a momento torcente, se sulla sezione agisce una forza di taglio T esterna, T genererà un sistema di tensioni tangenziali che NON hanno divergenza nulla, (basta pensare alla formula di Jourawski applicata a una semplice trave a T e vedere che ciò che entra da una parte non è ciò che esce dall'altra).
Il mio dubbio nasceva dal fatto che in quella dimostrazione non vedo dove si faccia l'ipotesi di essere in torsione pura, e quindi arrivare alla costanza del flusso.
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Faffa » 21/10/2017, 16:12

quello che non riesco a capire è dato il nostro cilindro la $s_1$ e la $s_2$ sono le due superfici di base del cilindro, ma la divergenza è uguale a
$\int n_1\cdot \tau_{sz}^1 dS_1+ \int n_2\cdot \tau_{sz}^2 dS_2= 0$
ma ogni contributo non è nullo essendo la normale perpendicolare alla tangente ?
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Vulplasir » 21/10/2017, 16:29

No, del cilindro non ce ne frega nulla, ci importa solo della sezione...questa in immagine è una sezione "alla Bredt" del cilindro di sain venant, considera la parte di sezione compresa tra b1 e b2, le tensioni tanenziali che entrano in b1 devono assere uguali a quelle che escono in b2, il flusso di cui parlo è un flusso bidimensionale, la normale è la normale al contorno della sezione compresa tra b1 e b2



Immagine
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Faffa » 21/10/2017, 16:39

aaaah quindi è "simile" alla dimostrazione che si fa per dimostrare che la portata è costante in un condotto, come conseguenza della conservazione della massa in regime stazionario !

il mio errore era concentrarmi sul cilindro !

Grazie mille per la spiegazione, quindi
$\int n_1\cdot \tau_{sz}^1 dS_1- \int n_1\cdot \tau_{sz}^2 dS_2= 0$

implica che:
$t_1 b_1 = t_2 b_2$

e quindi si dimostra che si ha la conservazione del flusso delle tensioni in torsione pura.

------------------
Per prima ho dimenticato di rispondere, comunque Jourawski ancora non l'ho fatto però terrò presente quello che hai detto !
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Re: [Scienza delle Costruzioni] Ipotesi della formula di Bredt

Messaggioda Faffa » 21/10/2017, 18:58

perché nella formula di bredt

$int_C r(s)ds = 2A $

non riesco a capire come si dimostra

__________________________________________

forse perché l'area interna è data dalla somma degli infiniti triangoli, mentre il raggio per la lunghezza ds ci da la somma di infiniti rettangoli ? quindi avremo 2 volte l'area ?
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