[Scienza delle Costruzioni] Spostamento in una struttura iperstatica

Salve a tutti data una generica struttura iperstatica




supposto di avere già calcolato il momento finale, se volessi calcolare lo spostamento nell'estremo di destra della struttura; applicando il PLV posso prendere una struttura isostatica associata pari ad esempio solo alla trave con incastro con forza unitaria nell'estremo ? dato che al sistema di forze fittizio è richiesto solo l'equilibrio...o sbaglio ?

dopo di che andrei ad applicare la fomula

$v = int_s (M^(f) * M/(EI)) dz$

Si mi sembra corretto il ragionamento

si, prova a fare una verifica con uno schema semplice del tipo incastro appoggio; dopo aver trovato le incognite iperstatiche applica il plv per lo spostamento che cerchi e poi come riscontro verifica che lo spostamento trovato sia uguale con quello della linea elastica.

Ok grazie mille a entrambi !

Ne approfitto per chiedere un altra cosa, se volessi risolvere la trave incastrata a sinistra con carrello a destra:






se voglio risolverla con l'equazione della linea elastica posso considerare l'isostatica equivalente :







andare a calcolare l'equazione del momento per i due tratti, quindi andare ad applicare la linea elastica del secondo ordine per i 2 tratti e infine andare a imporre l'equazione di congruenza, ossia che lo spostamento nel carrello deve essere zero


o è sbagliato ?

Intanto posto lo svolgimento dell'esercizio così mi dite dove ho sbagliato.


data la struttura isostatica associata, calcolo le reazioni vincolari



${ ( V_a + X - 2qL = 0 ),( M_a + 2XL - 2qL^2 =0 ):}$

da cui
${ ( V_a = -X + 2qL ),( M_a = - 2XL + 2qL^2 ):}$

quindi trovo che
${ ( M(z) = -(qz^2)/2 + Xz -2qLz -2qL^2 + 2XL \qquad\qquad0<=z<=2L),( M(z)=0 \qquad\qquad 2L<=x<=3L ):}$

quindi avrò due equazioni della linea elastica, la prima tra
$0<=z<=2L$

si ha:
$v_1''(z)= -1/(EI) ( -(qz^2)/2 + Xz -2qLz -2qL^2 + 2XL)$

integro 2 volte e trovo
$v_1'(z)= -1/(EI) ( -(qz^3)/6 + Xz^2/2 -2qLz^2 /2 -2qL^2 z + 2XLz + c_1)$

$v_1(z)=-1/(EI) (-qz^4 /24 + Xz^3/6 - 2qLz^3 /6 - 2qL^2 z^2 /2 + 2XLz^2 /2+c_1 z + c_2)$

invece da
$2L<=z<=3L$

si ha
$v_2''(z)= 0$

$v_2'(z)= c_3$

$v_2(z)= c_3 z + c_4$

impongo le condizioni al contorno :
${ ( v_1(0)=0 ),( v'_1(0)=0 ),( v_1(2L)=v_2(2L) ),( v'_1(2L)=v'_2(2L) ):}$

svolgendo i conti trovo
$v_1 (z) =+1/(EI) (+qz^4 /24 - Xz^3 /6 + 2qLz^3 /6 + 2qL^2 z^2 /2 - 2XLz^2 /2)$

e

$v_2(z) =+1/(EI) (-6XL^2 z + 28/3 qL^3 z + 20/3 XL^3 - 34/3 qL^4)$

impongo l'equazione di congruenza che mi dice che in $z=2L$ c'è un carrello

$v(2L)=0$

e trovo

$X= 17/10 qL$


dove sbaglio ?

impongo le condizioni al contorno :
${ ( v_1(0)=0 ),( v'_1(0)=0 ),( v_1(2L)=v_2(2L) ),( v'_1(2L)=v'_2(2L) ):}$
dove sbaglio ?

non dovrebbe essere $v_1(2L)=v_2(0) ; v'_1(2L)=v'_2(0) $ ?

a ogni "fine" di linea elastica devo azzerare la z ? perché io considero z compresa tra 0 e 3L....sbaglio ?

si dovresti considerare due tratti
$z_1$ con $0<z_1<2l$ e $z_2$ con $0<z_2<l$

non va da $2l$ fino a $3l$

${ ( M(z) = -(qz^2)/2 + Xz -2qLz -2qL^2 + 2XL \qquad\qquad0<=z<=2L),( M(z)=0 \qquad\qquad 2L<=x<=3L ):}$

se i due momenti li hai "spezzati" così devi necessariamente far variare $z_2$ tra $0<z<l$

Ho corretto ma continuo a non trovarmi,

${ ( c_3 = -6XL^2 + 16/3 qL^3 ),( c_4 = -16/3 XL^3 + 14/3 qL^4 ):}$

Quindi
$v_2 (z) = -1/(EI) (-6XL^2 z + 16/3 L^3 qz + 16/3 XL^3 -14/3 qL^4 )$

Quindi impongo l'eq di congruenza
$v_2 (0) = 0$

$X=7/8 qL$