[Teoria dei Segnali] Campionamento

[ilsaggio]

Ciao a tutti ho questo esercizio sul campionamento con relativa soluzione:




Allora io innanzitutto calcolo la trasformata per vedere dove $ |omega|>omega_M $ :
la mia trasformata è : $ 2pidelta(omega)+jpi(delta(omega+2)-delta(omega-2))-pi(delta(omega+6)+delta(omega-6)) $
Ora io non riesco a capire perché $ |omega|>6 $. Qualcuno potrebbe aiutarmi perché ho difficoltà a trovare $ |omega|>omega_M $ quando ho a che fare con i delta di Dirac

[Sling]

Semplicemente basta che guardi le componenti dello spettro del modulo di $x(t)$. Esso avrà cinque componenti:

-una nello zero dovuta alla componente continua;

-due simmetriche a frequenza $\pm 1/\pi$ dovute al seno;

-due simmetriche a frequenza $\pm 3/\pi$ dovute la coseno;

Guardando quindi solo la parte dello spettro a frequenze positive si nota subito che la banda del segnale sarà $B =3/\pi$ ossia $\omega_M =6$ che sarà appunto la pulsazione che ti serve per determinare il tempo di campionamento per non avere aliasing.

[ilsaggio]

ma quindi non serve calcolare la trasformata?

[Sling]

In generale per conoscere lo spettro di un segnale sì.
In questo caso il tuo segnale è una combinazione lineare di seni e coseni quindi, se conosci lo spettro di una generica funzione sinusoidale, per trovare lo spettro di $x(t)$ basta che sommi gli spettri delle funzioni sinusoidali e della componente continua che compongono il tuo segnale.

[ilsaggio]

ok ma avendo la trasformata che ragionamenti devo fare per arrivare alla banda del segnale? Ossia avendo calcolato
$ 2pidelta(omega)+jpi(delta(omega+2)-delta(omega-2))-pi(delta(omega+6)+delta(omega-6)) $, come arrivo alla soluzione? grazie per la pazienza

[Sling]

Ti ricavi lo spettro delle ampiezze del segnale e guardi l'intervallo di frequenze (positive) che contiene tutte le le armoniche significative del segnale. Nel tuo caso dovrebbe essere:

spettro approssimativo

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Nel tuo caso essendo il segnale è semplicemente composto solo da seni e coseni di uguale ampiezza, si vede subito che la banda coinciderà con la frequenza della sinusoide a più alta frequenza.

[ilsaggio]

grazie!!