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Ciao a tutti ho questo esercizio sul campionamento con relativa soluzione:




Allora io innanzitutto calcolo la trasformata per vedere dove $ |omega|>omega_M $ :
la mia trasformata è : $ 2pidelta(omega)+jpi(delta(omega+2)-delta(omega-2))-pi(delta(omega+6)+delta(omega-6)) $
Ora io non riesco a capire perché $ |omega|>6 $. Qualcuno potrebbe aiutarmi perché ho difficoltà a trovare $ |omega|>omega_M $ quando ho a che fare con i delta di Dirac

Semplicemente basta che guardi le componenti dello spettro del modulo di $x(t)$. Esso avrà cinque componenti:

-una nello zero dovuta alla componente continua;

-due simmetriche a frequenza $\pm 1/\pi$ dovute al seno;

-due simmetriche a frequenza $\pm 3/\pi$ dovute la coseno;

Guardando quindi solo la parte dello spettro a frequenze positive si nota subito che la banda del segnale sarà $B =3/\pi$ ossia $\omega_M =6$ che sarà appunto la pulsazione che ti serve per determinare il tempo di campionamento per non avere aliasing.

ma quindi non serve calcolare la trasformata?

In generale per conoscere lo spettro di un segnale sì.
In questo caso il tuo segnale è una combinazione lineare di seni e coseni quindi, se conosci lo spettro di una generica funzione sinusoidale, per trovare lo spettro di $x(t)$ basta che sommi gli spettri delle funzioni sinusoidali e della componente continua che compongono il tuo segnale.

ok ma avendo la trasformata che ragionamenti devo fare per arrivare alla banda del segnale? Ossia avendo calcolato
$ 2pidelta(omega)+jpi(delta(omega+2)-delta(omega-2))-pi(delta(omega+6)+delta(omega-6)) $, come arrivo alla soluzione? grazie per la pazienza

Ti ricavi lo spettro delle ampiezze del segnale e guardi l'intervallo di frequenze (positive) che contiene tutte le le armoniche significative del segnale. Nel tuo caso dovrebbe essere:



Nel tuo caso essendo il segnale è semplicemente composto solo da seni e coseni di uguale ampiezza, si vede subito che la banda coinciderà con la frequenza della sinusoide a più alta frequenza.

grazie!!