Mi sto cimentando nella risoluzione di un problema di meccanica che vuole essere un esempio di campo vettoriale irrotazionale.
Ho due ruote dentate inscritte l'una nell'altra con una terza ruota libera di ruotare tra le due.
Poste $ v_1,v_2 $ le velocità delle due ruote, quali sono le formule che mi danno la velocità del centro $ v_c $ e la velocità tangenziale della terza ruota $ v_s $ ?
Se la terza ruota è molto piccola rispetto ai raggi delle altre due si può utilizzare un'approssimazione lineare, per cui ho supposto
$ v_c=1/2(v_1+v_2) $ $" "$ $ v_s=1/2(v_1-v_2) $
Questo perché la velocità tangenziale del "nastro" è il doppio della velocità del centro, sommandosi la rotazione e la traslazione, mentre se il secondo nastro è libero di muoversi nel verso opposto il disco rimane fermo , $ v_c=0, v_s=v_1=v_2$. Invece se $ v_1=v_2 $ allora $ v_c=v_1=v_2 $ e $ v_s=0 $.
Ora, affinché la ruota sia ferma e quindi il campo irrotazionale, la ruota deve seguire il moto delle altre due senza ruotare rispetto al nostro sistema di riferimento, mentre ruota rispetto al suo centro con la stessa velocità angolare del centro ma in verso opposto; in formule
$ omega_s=v_s/r_s=v_c/r_c=omega_c $
Se $ r $ è il raggio della ruota 1, mentre se $ r_s $ è il raggio della ruota 3, allora $ r_c=r+r_s" , " r_2=r+2r_s $ , e dunque
$ v_s/r_s=v_c/(r+r_s) $
da cui svolgento i conti si arriva a $ v_1r=v_2(r+2r_s) $ ovvero $ v_1r_1=v_2r_2 $ . Ma allora
$ { ( v_1=alpha/r_1 ),( v_2=alpha/r_2 ):} rArr v(r)=alpha/r $
dove $ alpha $ è una costante.
In effetti supponendo che $ r=sqrt(x^2+y^2) $ , il campo vettoriale che soddisfa questo requisito è
$ vec(v) =alpha (y/r^2,-x/r^2) $ $" "$ $ grad xx vec(v)=0 $
Fin qui il tutto sembra quadrare. Il problema nasce quando le 2 ruote hanno la stessa velocità $ v_1=v_2=v $ , per cui
$ v_c=v $ ma $ v_s=0 $ come nel caso lineare, mentre mi aspetterei una rotazione opposta a quella delle due ruote in quanto hanno velocità angolari diverse $ omega _1>=omega _c>=omega _2 $.
Quando invece le due ruote hanno velocità angolari uguali , $ omega _1=omega _2=omega$, $ v_1<v_c<v_2 $ , ma
$ v_s=-r_s/rv_1 $ mentre mi aspetterei che la ruota sia bloccata tra le altre due e quindi rispetto al suo centro $ v_s=0 $ .
Questo mi fa sospettare che, o la mia interpretazione non è corretta, o le formule usate all'inizio per $ v_c $ e $v_s$ mal si adattano per descrivere questa configurazione di moto circolare.
Grazie
