[Teoria dei Segnali] Sistema LTI stabile e causale

[IngSteve]

Ciao ragazzi, sto appena iniziando a fare esercizi di teoria dei segnali in vista dell'esame solo che non so da dove iniziare a mettere le mani, non ho capito ancora bene come iniziare a ragionare e come impostare gli esercizi. Potreste aiutarmi? Vi scrivo il testo dell'esercizio:

"Si consideri il sistema LTI stabile e causale descritto dallo schema a blocchi di figura.



$a)$ Calcolare la risposta in frequenza $H(v)$ del sistema.
$b)$ Calcolare la risposta impulsiva $h(n)$ del sistema.
$c)$ Calcolare l’energia di $h(n)$.
$d)$ Calcolare l’uscita $y(n)$ del sistema in corrispondenza dell’ingresso $ x(n)=2+cos^2((pin)/8) $. "

Come faccio a calcolare $H(v)$? Devo prima cercare di calcolare $y(n)$? Se si, come si fa?

[mide]

Si può fare in vari modi. Io troverei prima $y[n]$ che dovrebbe essere uguale a:
$y[n]=0.7y[n-1]+0.5x[n]+0.3x[n-1]$. Dopo di che trasformi in base alla trasformata che avete visto (forse DTFT?) e puoi trovare $H(\nu)$ sapendo che in generale è $H(\nu)=\frac{Y(\nu)}{X(\nu)}$. Per cui antitrasformando ottieni $h[n]$.

P.S. Cerca di sforzarti e postare almeno un tentativo di soluzione. Penso abbiate visto degli esempi a lezione, quindi potresti partire da lì.

[IngSteve]

Ah ecco... ma perché la seconda parte c'è $0,7*y(n-1)$? non dovrebbe essere sempre in base ad $a(n)$?

io trovo che $y(n)=0,5*x(n)+0,3*x(n-1)+0,7*a(n-1)$ con $a(n)=0,5*x(n)+0,3*x(n-1)$

Purtroppo il mio corso di TS è stato molto molto teorico, abbiamo visto più esercizi con la parte di probabilità (infatti più o meno riesco a svolgerli, sto imparando), ma su tutto questo non abbiamo fatto praticamente esercizi...

[mide]

non credo sia come dici...guarda il disegno, puoi dividerlo in 2 parti: la prima con ingresso $x[n]$ ed uscita $a[n]$ e la seconda con ingresso $a[n]$ ed uscita $y[n]$. Quindi puoi scrivere:

$a[n]=0.3x[n-1]+0.5x[n]$
$y[n]=0.7y[n-1]+a[n]=0.7y[n-1]+0.3x[n-1]+0.5x[n]$

In sostanza nella parte di destra è $y[n]$ che viene ritardato e sommato a quello che viene da sinistra.

[IngSteve]

Ok credo di aver capito. Passando allora dal tempo alla frequenza, mi viene:

$Y(v)=0,5*X(v)+0,3*X(v)*e^(-j2piv)+0,7*Y(v)*e^(-j2piv)$

e dopo qualche conto ho che $H(v)=(Y(v))/(X(v))=[0,5+0,3*e^(-j2piv)]/[1-0,7e^(-j2piv)]$.

Giusto? ora dovrei antitrasformare per trovare $h(v)$?

[mide]

Si esatto

[IngSteve]

Ciao mide, scusa se mi sono assentato un paio di giorni, ho dovuto preparare un esame...
Ti vorrei ringraziare per avermi dato l'imput per svolgere quest'esercizio.
Se ti scrivo man mano i passi dei punti restanti, potresti continuare ad aiutarmi? Abbiamo detto che devo anti trasformare, allora io sto facendo così:

$ H(v)=(0,5)/(1-0,7*e^(-j2piv))+(0,3*e^(-j2piv))/(1-0,7e^(-j2piv)) $

Nel formulario fornito dal mio docente ho trovato che $ a^n*u(n) leftrightarrow 1/(1-a*e^(-j2piv) $ ,

Quindi nel mio caso, il primo addenso posso trasformarlo in $ 0,5*0,7^n*u(n) $ . è corretto?
ora passo al secondo addendo e utilizzo la stessa trasformata di prima, risulta : $ 0,3*e^(-j2piv)*0,7^n*u(n) $ e quindi alla fine la mia risposta impulsiva sarà $ h(n)=0,7^n*u(n)*(0,5+0,3*e^(-j2piv)) $ . Cosa ne pensi?

[mide]

Ciao, allora è un po' che non faccio questi esercizi per cui se potessi confrontarti con qualcuno o se avessi il risultato dell'esercizio sarebbe meglio.

Comunque la prima antitrasformata credo sia giusta. La seconda invece no e puoi benissimo guardarlo dal risultato che hai ottenuto, hai una funzione in $n$ ma ti compare ancora la variabile $\nu$ che non vuoi. Io proverei a scriverla in questo modo:
$\frac{0.3\cdot e^(-j2\pi\nu)}{1-0.7\cdot e^(-j2\pi\nu)} = \frac{0.3}{e^(j2\pi\nu)\cdot(1-0.7\cdot e^(-j2\pi\nu))} = \frac{0.3}{e^(j2\pi\nu) - 0.7}$
o se preferisci:

$ \frac{0.3}{0.7}\cdot(-\frac{1}{1-1.43\cdote^(j2\pi\nu)})$.

Dovrebbe trattarsi di una sequenza anticausale, prova a guardare la teoria.
Comunque se riesci a recuperare in qualche modo il risultato, sarebbe meglio.
Ad ogni modo ti ringrazio perchè mi hai fatto rispolverare argomenti che non vedevo da 2-3 anni .

[IngSteve]

Purtroppo sono tracce d'esame, non conosco i risultati, magari andando al ricevimento dal professore verifico se abbiamo fatto bene.
Comunque antitrasformando il secondo addendo alla fine mi viene $0,42*[-1,43^n*u(n)]$.
Ti trovi?

[mide]

Attento, l'esponenziale al denominatore è positivo. Potresti vederlo come $e^-(j2\pi(-\nu))$, quindi con un cambio di variabile nell'integrale dell'antitrasformata dovresti avere: $ 0,42*[-1,43^-n*u(-n)] $.

Comunque prova a chiedere al prof e poi fammi sapere. Ti chiedo scusa per eventuali sciocchezze che potrei aver detto.