[Teoria dei Segnali] Calcolo risposta in frequenza + disegno

[IngSteve]

Ciao ragazzi, potreste aiutarmi a capire come fare quest'esercizio?

"


Con riferimento allo schema di figura, $S_2$ è un sistema LTI con risposta impulsiva

$ h(t)=delta(t)-2W(sinc)^2(Wt)+ W/2sinc^2((Wt)/2) $ con $W>0$

$A)$ Calcolare la risposta in frequenza H(f) del sistema $S_2$.
$B)$ Rappresentare graficamente la $H(f)$ determinata al punto $A$.
$C)$ Calcolare l’uscita $y(t)$ del sistema complessivo in corrispondenza del seguente ingresso:
$ x(t)=cos((piWt)/2)+sin(piWt) $."

Allora, per risolvere il punto A devo utilizzare la trasformata di Fourier e fortunatamente sono tutte trasformate note.
Il fatto è che non sono sicuro del risultato che ho ottenuto, voi cosa ne pensate?

$ H(f)=1-2Wlambda(Wf)+W/2lambda((Wf)/2) $

PS: con $lamda$ intendo la finestra triangolare.

[mide]

quasi...l'argomento della sinc non è semplicemente $t$ perchè hai anche delle costanti: $W$ nel primo caso e $W/2$ nel secondo. Quindi la trasformata finale va modificata leggermente

[IngSteve]

Ciao mide, come posso ragionare? Se provassi a considerare $W=1$ troverei che nel secondo caso ho un'espansione, ma se $W=4$ allora avrei una compressione... Guardando qualche esempio di trasformate di $sinc$ ho notato che l'ampiezza resta sempre uguale e quindi nel primo caso $2W$ e nel secondo $W/2$ e devo ragionare un pochetto sull'argomento della $sinc$. Io ho pensato:

$ -2Wsinc^2(Wt) harr -(2W)/W lambda(f) $
e
$ W/2sinc^2((Wt)/2) harr (2W)/(2W)lambda(f) $

Quindi in definitiva $ H(f)=1-2lambda(f)+lambda(f)=1-lambda(f) $

è corretto?

[mide]

si bravo, ci sei quasi....devi semplicemente applicare la proprietà del cambiamento di scala:

$\mathcal{F}{x(\alpha t)} \leftrightarrow \frac{1}{|\alpha|}X(\frac{f}{\alpha})$.

Quindi per la prima sinc sarà $\alpha = W$ mentre per la seconda $\alpha = W/2$.

Ho trovato online un formulario che mi sembra abbastanza completo qui

[IngSteve]

Cavolo... devo ricordami sempre di utilizzare leprkprietà varie... sarà che sono all'inizio e non ci penso subito...
Allora nel primo caso ho che la trasformata vale $-2W*1/W*sinc^2(f/W)$ e allora la mia trasformata finale (sempre della prima sinc) è $Wlambda(f)$. Fatto bene?

Procedendo in modo analogo, per la seconda sinc, trovo che la trasformata finale vale semplicemente $lambda(f)$. Ti trovi?

[mide]

ti sei perso negli errori di calcolo. Alla fine dovrebbe uscire $-2\Lambda(\frac{f}{W})$ (per la prima sinc).
Adesso prova a fare la seconda sinc. Dovrebbe essere $\Lambda(\frac{2f}{W})$

[mide]

trovo che la trasformata finale vale semplicemente $lambda(f)$. Ti trovi?

Dopo quello che ho detto, direi di no

[IngSteve]

Stavo per modificare il messaggio, adesso mi trovo esattamente come mi hai scritto.
Quindi $H(f)=1-2lambda(f/W)+lambda((2f)/W)$

[mide]

[IngSteve]

Grazie!