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Ciao ragazzi, stavo provando a svolgere il seguente esercizio:
“Date le seguenti componenti cartesiane della velocità $ u= -1/2(y/(x^2+y^2)) $ e $ v= 1/2(x/(x^2+y^2)) $ , calcolarne l’espressione in coordinate polari e valutare la circolazione intorno alla circonferenza di raggio $ R=2m $ e centro nell’origine.”
Purtroppo la soluzione da me trovata non coincide con quella scritta sul libro.
Siccome viene chiesta la circolazione, utilizzando la definizione, questa è pari a: $ Gamma= intint_szeta dS $ . Pertanto, la prima cosa che ho fatto è stato calcolare la vorticità $ zeta $ . Come noto, questa è pari al rotore del campo di velocità e, svolgendo i calcoli, il campo risulta essere irrotazionale. Ciò significa che la circolazione è pari a zero. Il libro però dà come soluzione $ Gamma=3,14 m^2/s $ .
Non capisco cosa sbaglio. Grazie a chi volesse aiutarmi.

Non basta mica essere irrotazionale per avere circuitazione nulla

Vulplasir ha scritto:Non basta mica essere irrotazionale per avere circuitazione nulla

Infatti... Quello sui campi irrotazionali è uno di quei teoremi dell'Analisi in cui la geometria dell'insieme di definizione gioca un ruolo fondamentale (altri esempi sono il teorema degli zeri, o il teorema di Lagrange di Analisi I).
In particolare, se ricordi bene, il teorema stabilisce che se un campo vettoriale è irrotazionale (o una forma differenziale è chiusa, il che è lo stesso) ed il suo insieme di definizione è semplicemente connesso, allora il campo vettoriale ha un potenziale (o la forma è esatta, il che è lo stesso).
Nel caso in esame, l'insieme di definizione del campo è il piano privato dell'origine... E tale insieme non è semplicemente connesso.

In effetti se all’interno della curva sono presenti vortici liberi la circolazione è diversa da zero, poiché $ v_(theta)!= 0 $ . Se così fosse, non so come calcolare $ v_(theta) $ .

Tutto quello che vuoi, ma questo è un problema di Analisi II... Ti serve calcolare l'integrale curvilineo $\int_C u " d"x + v " d"y$, in quanto non puoi applicare il teorema di Stokes per trasformare l'integrale curvilineo in uno di due variabili.

Ok, ho risolto. Quello che ho fatto è stato calcolare l’integrale curvilineo suggeritomi da gugo82. Per fare questo ho semplicemente riscritto le funzioni $ u $ e $ v $ in coordinate polari, e quindi ho svolto l’integrale. Ho ottenuto una circolazione diversa da zero. Da questa ho ricavato le velocità in coordinate polari.
Grazie mille per l’aiuto.

Si ma a parte i conti...hai capito perchê nonostante il rotore sia nullo la circuitazione risulta non nulla?

Sì, credo d’aver capito. Il fatto che il rotore sia nullo indica semplicemente che il campo è irrotazionale, però, dato che nel caso in esame l’insieme di definizione non è semplicemente connesso, ciò non implica che il campo sia conservativo (cioè l’errore che facevo, affermando che la circolazione fosse pari a zero). Pertanto, non potendo usare il teorema del rotore, bisogna calcolare l’integrale curvilineo lungo una curva che contenga la singolarità (in questo caso il punto (0,0)). Dato che questo integrale è diverso da zero, il campo, pur essendo irrotazionale, non è conservativo.

Esatto, ma questo accade solo con curve che contengono l'origine, se prendi una curva che non contiene l'origine non hai problemi e puoi dire che la circuitazione è nulla.

Ok, grazie mille per l’aiuto Vulplasir!