Esercizio linearizzazione ( mi aiutate per favore)

[polid]

Linearizzare il seguente modello dinamico alle variabili di stato intorno al punto di lavoro :

$ dot(u) = dot(y0) =0 $

modello dinamico :

$ dot(x1)= -2x1+3sin(2x2)+5u $

$ dot(x2) = x1-x2 $

$ y=x2 $

Tracciare sovrapposte la funzione non lineare 3sin2x2 e la relativa funzione inearizzata trovate e farne le dovute considerazioni.

Svolgimento:

Ho svolto in questo modo:
Linearizzare un sistema vuol dire linearizzarlo intorno ad un punto di equilibrio, quindi come prima cosa devo calcolare le sue coordinate , lo facciamo imponendo
$ dot(x1) = dot(x2) =0 $
Denominiamo con x10 e con x20 le coordinate di equilibrio ( per convenzione un suffisso '0' a una variabile per indicare che rappresenta un valore all'equilibrio)

Risulta quindi:
$ 0=-2x10+3sin(2x20)+5u0 $
$ 0=x10-x20 $
$ y0=x20 $

impongo le condizioni iniziali : u0=y0=0

$ 0=-2x10+3sin2x20+5u0 $
$ 0=x10-x20 $
$ x20=0 $

Quindi risulta :
$ x10=0 $ , $ x20=0 $ ,

A questo punto mi perdo perche' mi si annulla tutto ..... come faccio a calcolare i valori dello stato e dell'uscita all'equilibrio ??

Mi aiutate per favore ? Grazie

[Quinzio]

Innanzitutto un sistema non lineare puo' essere linearizzato attorno a qualsiasi punto, non solo nei punti di equilibrio.
I punti di equilibrio sono interessanti in quanto stabili, appunto.
Secondo, perche' imponi le condizioni iniziali se vuoi trovare un punto di equilibrio ?
Che senso ha ?

[polid]

Grazie Quinzio per avermi risposto,

Credo aver riportato male il testo dell'esercizio.
Questo e' il testo originale dell'esercizio.

[Quinzio]

La teoria e' qui a pag 12...
http://www.ladispe.polito.it/corsi/contrautoinf270/material/Linearizzazione.pdf
Mi sembra abbastanza immediato scrivere la matrice A come:

$A = ((-2, 6 \cos (2x_2)), (1, -1))$

Quindi nel punto di lavoro $y = x_2 = 0$

$A = ((-2, 6), (1, -1))$

[polid]

Grazie Quinzio.

Per il momento la teoria mi rimane un po' difficile.
(Ho ancora qualche nodo da sciogliere su questo argomento ) .

Sono d'accordo con lo scrivere la matrice A pero' non ho capito come e' venuto fuori quel $ 6cos(2x_2) $ e poi perché non scrivere anche le altre matrici ?

Sicuramente hai eseguito la derivata in questo modo : pero' non ho capito perche'

$ derivata (3sin(2x_2))=6cos(2x_2) $

[Quinzio]

Ok, ho eseguito la derivata.
Qual e' la derivata di $3 \sin(2x_2)$ ?

[polid]

La derivata a me risulta : $ 6cos(2x_2) $

[polid]

Questa e' la funzione non lineare :
Questa funzione la dovrei confrontare con la funzione linearizzata che dovrebbe essere una retta che interseca questa funzione .
Il problema è capire qual'e' la funzione linearizzata conoscendo la matrice A .

[Quinzio]

La derivata a me risulta : $ 6cos(2x_2) $

Eh, anche a me risulta lo stesso.
La funzione linearizzata e' $6x_2$, ti torna ?

[polid]

In linea di massima ho capito pero' ho ancora parecchi dubbi .

Il risultato potrebbe essere una cosa di questo genere ?

Dove ci sono le due funzioni . La prima e' non linearizzata e la seconda e' linearizzata .

Pero' il tutto non mi convince per niente .