[Elettrotecnica] Circuito dinamico del secondo ordine

[Bartholomew]

Salve a tutti. In preparazione per l'esame di Elettrotecnica, il professore mette a disposizione l'elenco delle tracce degli esami precedenti, e questa è una di quelle tracce, su cui mi sono bloccato.



Ora. per t < 0, R3 è in parallelo con un corto circuito, L si comporta come un corto circuito e C si comporta come un circuito aperto.
Quindi, in teoria, $i_L$ dovrebbe essere pari a 1.2A, e $v_C$ dovrebbe essere pari a 0V.

Per t > 0, so che:

$v_C = R_3 i_3$, quindi $i_3=frac{v_c}{R_3}$
$v_L = R_1 i_1$, quindi $i_1=frac{L}{R_1}frac{di_L}{dt}$
$i_C=C frac{dv_C}{dt}$
$i_2 = J - C frac{dv_C}{dt} - frac{v_c}{R_3} = J - frac{L}{R_1}frac{di_L}{dt} - i_L$

Ora però ho provato a usare le LKT, ho provato ad usare il metodo dei potenziali di nodo modificato al circuito resistivo associato (con scarsi risultati, molto probabilmente perché non so nemmeno impostarlo, ma il materiale che ho trovato su internet non mi riesce a risolvere questo problema), ma non riesco a trovare le due equazioni differenziali per risolvere il circuito.

Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo.

[RenzoDF]

Premesso che non ha senso scrivere KCL e KVL senza aver prima scelto le convenzioni per le correnti e per le tensioni, direi che il metodo migliore sia proprio quello che passa per il circuito resistivo associato e visto che possiamo andare a scrivere la funzione del tempo richiesta come somma della parte transitoria e a regime, per la prima basterà andare a considerare il GIC virtuale associato all'induttore e il GIT virtuale associato al condensatore, "spegnendo" il generatore di corrente indipendente,

fig.1

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lasciando quest'ultimo "acceso" solo per determinare la tensione a regime su C.

In sostanza, per la parte transitoria puoi (per esempio) usare la sovrapposizione degli effetti per esprimere la tensione sull'induttore e la corrente nel condensatore in funzione delle variabili di stato $i_L$ e $v_C$,

$v_L=f(i_L,v_C)$

$i_C=g(i_L,v_C)$

e da queste, via equazioni costitutive di L e C, ricavare un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine in $i_L$ e $v_C$, per poi andare a determinare gli esponenti dei termini esponenziali della sua soluzione, attraverso i due autovalori dalla matrice dei coefficienti del sistema.